Mathématiques BAC Série D 2011 Madagascar – Sujet

N.B. : Les DEUX exercices et le Problème sont obligatoires. Machine à calculer scientifique NON programmable autorisée.

EXERCICE 1 (5 points)

Soit l’équation \((E)\) : \(z^3 + (1 - i)z^2 + (-8 + 4i)z - 4 - 28i = 0\).

1°) Montrer que \((E)\) admet une solution imaginaire pure \(\alpha i\) où \(\alpha\) est un nombre réel que l’on déterminera. (0,5 pt)

2°)

a) Montrer que \((E)\) peut s’écrire sous la forme : \((z - \alpha i)(az^2 + bz + c) = 0\) où \(a\), \(b\), \(c\) sont des nombres complexes à déterminer. (0,75 pt)

b) Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \((E)\). (0,75 pt)

3°) Dans le plan complexe \((P)\) muni d’un repère orthonormé direct \((O,\,\vec{u},\,\vec{v})\), d’unité 1 cm, on donne les points \(A\), \(B\) et \(C\) d’affixes respectives \(-2i\) ; \(3 + i\) et \(-4 + 2i\).

a) Placer les points \(A\), \(B\), \(C\) dans le plan \((P)\). (0,25 pt)

b) On pose \(Z = \dfrac{z_B - z_A}{z_C - z_A}\). Écrire \(Z\) sous forme trigonométrique. (0,5 pt)

c) En déduire la nature du triangle \(ABC\). (0,5 pt)

d) Trouver l’affixe du point \(D\) pour que le quadrilatère \(ABCD\) soit un parallélogramme. (0,5 pt)

4°) Soit \(S\) la transformation d’expression complexe \(z' = \dfrac{4}{3}iz - \dfrac{8}{3} - 2i\).

a) Quelle est la nature de \(S\) et donner ses éléments caractéristiques. (0,25 + 0,5 pt)

b) Construire l’image \(A'B'C'D'\) de \(ABCD\) par \(S^{-1}\). (0,5 pt)

EXERCICE 2 (5 points)

I. Une urne contient 8 boules indiscernables au toucher dont :

— 3 rouges numérotées : 2 ; 2 ; 5 ;

— 5 blanches numérotées : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5.

1) Le jeu consiste à tirer au hasard et simultanément deux boules de l’urne. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :

\(A\) : « obtenir deux boules de couleurs différentes ». (0,25 pt)

\(B\) : « obtenir deux boules de numéros pairs ». (0,5 pt)

\(C\) : « obtenir deux boules dont le produit des numéros est égal à 4 ». (0,5 pt)

2) On tire au hasard et successivement avec remise 3 boules de l’urne. Soit \(X\) la variable aléatoire définie par le nombre de boules portant le numéro 5 obtenu.

a) Déterminer l’univers-image de \(X\). (0,5 pt)

b) Donner la loi de probabilité de \(X\). (0,75 pt)

NB : On donnera les résultats sous forme de fraction irréductible.

II. On donne dans le tableau ci-dessous le nombre d’élèves d’un lycée ayant réussi le Baccalauréat durant 4 années successives :

1) Représenter le nuage des points \(M_i(x_i, y_i)\), \(1 \leq i \leq 4\), associé à cette série statistique. Échelle : sur l’axe des abscisses, 1 cm pour une unité ; sur l’axe des ordonnées, placer 2 à l’origine puis 1 cm pour 100 élèves. (0,75 pt)

2) Déterminer le point moyen \(G\). (0,5 pt)

3) Calculer le coefficient de corrélation \(r\) et interpréter. (0,5 pt)

4) Écrire l’équation de la droite de régression de \(y\) en \(x\). (0,5 pt)

5) Combien de réussites peut-on espérer en 2014 ? (0,25 pt)

NB : Les résultats seront donnés à \(10^{-2}\) près.

PROBLÈME (10 points)

On considère la fonction numérique \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x) = 2x + 1 - xe^{-x}\).

On note \((\mathcal{C})\) sa courbe représentative dans un plan muni d’un repère orthonormé \((O,\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath})\) d’unité 2 cm.

1) Soit \(g\) la fonction numérique définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(g(x) = (x - 1)e^{-x} + 2\).

a) Étudier les variations de \(g\) et dresser son tableau de variation. (0,5 + 0,5 pt)

b) Démontrer que l’équation \(g(x) = 0\) admet une solution unique notée \(\alpha\) dans \(\mathbb{R}\) et que \(-1 < \alpha < 0\). (0,5 pt)

c) En déduire le signe de \(g(x)\) suivant les valeurs de \(x\). (0,5 pt)

2)

a) Calculer \(\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)\) et \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)\). (0,25 pt × 2)

b) Calculer la dérivée \(f'(x)\) et montrer que \(f'(x) = g(x)\) pour tout \(x\) élément de \(\mathbb{R}\). (0,5 pt)

c) Montrer que \(f(\alpha) = 1 + \dfrac{2\alpha^2}{\alpha - 1}\). (0,5 pt)

d) Dresser le tableau de variation de \(f\). (0,5 pt)

3)

a) Calculer \(\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{f(x)}{x}\) et interpréter graphiquement ce résultat. (0,25 pt × 2)

b) Démontrer que la droite \((D)\) : \(y = 2x + 1\) est asymptote à \((\mathcal{C})\) au voisinage de \(+\infty\). (0,5 pt)

c) Étudier la position de \((\mathcal{C})\) par rapport à \((D)\). (0,5 pt)

4)

a) Écrire une équation de la tangente \((T)\) à \((\mathcal{C})\) au point d’abscisse \(x_0 = 0\). (0,5 pt)

b) Montrer qu’il existe un point \(A\) de \((\mathcal{C})\) où \((\mathcal{C})\) admet une tangente \((T')\) parallèle à \((D)\). Trouver les coordonnées du point \(A\). (0,25 + 0,25 pt)

5) Tracer \((D)\), \((T)\), \((T')\) et \((\mathcal{C})\) dans le même repère. Pour la construction, on prendra \(\alpha = -0{,}4\) et \(f(\alpha) = 0{,}8\). (0,25 pt × 3 + 1,25 pt)

6)

a) À l’aide d’une intégration par parties, calculer \(I_\lambda = \displaystyle\int_0^\lambda xe^{-x}\,dx\). (0,5 pt)

b) Déterminer, en cm², l’aire \(\mathcal{A}(\lambda)\) du domaine plan délimité par \((\mathcal{C})\), \((D)\) et les droites d’équations \(x = 0\) et \(x = \lambda\) (\(\lambda > 0\)). (0,5 pt)

c) Calculer \(\lim\limits_{\lambda \to +\infty} \mathcal{A}(\lambda)\). (0,5 pt)

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