Mathématiques BAC Série D 2009 Madagascar – Sujet

N.B. : Les deux Exercices et le PROBLÈME sont obligatoires. Machine à calculer scientifique non programmable autorisée.

EXERCICE 1 (5 points)

Le plan complexe \((P)\) est muni d’un repère orthonormé \((O, \vec{u}, \vec{v})\) d’unité 1 cm.

1) \(P\) est le polynôme de la variable complexe \(z\) défini par : \(P(z) = z^3 - (6 + 2i)z^2\) \(+ (10 + 8i)z - 4 - 8i\).

a) Calculer \(P(2)\). (0,25 pt)

b) Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \(P(z) = 0\). (1 pt)

2) On donne les points \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) d’affixes respectives \(a = 1 + i\) ; \(b = 2\) ; \(c = 3 + i\) et \(d\).

a) Calculer \(d\) pour que \(ABCD\) soit un carré. (0,75 pt)

b) On considère la similitude plane directe \(S\) définie par son expression complexe : \(z' = (1 + i)z + 4i\).

— Donner les éléments caractéristiques de \(S\). (1 pt)

— Déterminer l’expression analytique de \(S\). (1 pt)

3) Construire dans le même repère \(ABCD\) et \(A'B'C'D'\) son image par \(S\). (1 pt)

EXERCICE 2 (5 points)

1) Les faces d’un dé cubique \(D_1\) truqué sont numérotées : 1 ; 2 ; 2 ; 3 ; 3 ; 3. On lance une fois ce dé. Chaque face a la même probabilité d’apparition. On note \(P_i\) la probabilité d’apparition de la face portant le numéro \(i\).

Calculer \(P_1\), \(P_2\) et \(P_3\). (0,25 + 0,25 + 0,25 pt)

2) Les faces d’un deuxième dé cubique normal \(D_2\) sont numérotées de 1 à 6. On lance en même temps les deux dés \(D_1\) et \(D_2\). Chaque face a toujours la même probabilité d’apparition.

a) Calculer la probabilité de l’événement \(A\) : « les deux dés affichent le même numéro ». (0,5 pt)

b) On désigne par \(X\) la variable aléatoire définie par la somme des numéros affichés par les deux dés.

— Donner la loi de probabilité de \(X\). (1 pt)

— Calculer l’espérance mathématique \(E(X)\). (1 pt)

3) On lance trois fois de suite et d’une façon indépendante le dé \(D_1\). On note \(Y\) la variable aléatoire égale au nombre d’apparitions de la face portant le numéro 2 lors de ces trois lancers.

a) Donner la loi de probabilité de \(Y\). (1 pt)

b) Calculer la variance \(V(Y)\). (0,75 pt)

NB : Tous les résultats seront exprimés sous forme de fraction irréductible.

PROBLÈME (10 points)

On considère la fonction numérique \(f\) de la variable réelle \(x\) définie par : \(f(0) = 0\) et \(f(x) = x(1 - \ln x)^2\) si \(x > 0\), où \(\ln\) désigne la fonction logarithme népérien.

On appelle \((\mathcal{C})\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O, \vec{\imath}, \vec{\jmath})\) d’unité 1 cm.

1) Justifier que l’ensemble de définition de \(f\) est \(\left[0\,;\,+\infty\right[\). (0,5 pt)

2)

a) Prouver que \(f\) est continue en \(x_0 = 0\). (0,75 pt)

b) Étudier la dérivabilité de \(f\) en \(x_0 = 0\). (0,5 pt)

3)

a) Démontrer que pour tout \(x > 0\), \(f'(x) = (\ln x - 1)(\ln x + 1)\), où \(f'\) désigne la fonction dérivée première de \(f\). (0,5 pt)

b) Après avoir précisé le sens de variations de \(f\), dresser son tableau de variations. (0,5 + 0,5 pt)

4) Tracer la courbe \((\mathcal{C})\). (2 pts)

5) Soit \(\alpha\) un réel appartenant à l’intervalle \(\left]0\,;\,e\right[\).

a) Calculer, à l’aide de deux intégrations par parties, l’intégrale : \(I = \displaystyle\int_{\alpha}^{e} f(x)\,dx\). (1,5 pts)

b) Soit \(\mathcal{A}(\alpha)\) l’aire du domaine plan délimité par l’axe \((O, \vec{\imath})\), les droites d’équations \(x = \alpha\) et \(x = e\) et la courbe \((\mathcal{C})\). Calculer en cm² \(\mathcal{A}(\alpha)\) et \(\lim\limits_{\alpha \to 0^+} \mathcal{A}(\alpha)\). (0,25 + 0,25 pt)

6) Soit \(g\) la restriction de \(f\) à l’intervalle \(\left[e\,;\,+\infty\right[\).

a) Démontrer que \(g\) admet une application réciproque notée \(g^{-1}\) dont on précisera l’ensemble de définition. (1 pt)

b) Calculer \(g(e^2)\) et \((g^{-1})'(e^2)\). (0,25 + 0,5 pt)

7) Tracer dans le même repère que \((\mathcal{C})\) la courbe représentative \((\Gamma)\) de \(g^{-1}\). (1 pt)

On donne : \(e \approx 2{,}7\) ; \(e^{-1} \approx 0{,}36\) ; \(e^2 \approx 7{,}4\).

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