Mathématiques BAC Série D 2008 Madagascar – Sujet

N.B. : Les deux exercices et le PROBLÈME sont obligatoires. Machine à calculer scientifique non programmable autorisée.

EXERCICE 1 (5 points)

1. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation : \(z^2 - (1 - 3i)z - 4 = 0\). (1 pt)

2.

a) Dans le plan complexe \((P)\), muni d’un repère orthonormé direct \((O,\,\vec{u},\,\vec{v})\) d’unité 2 cm, placer les points \(A\), \(B\) et \(D\) d’affixes respectives 1, \((-1 - i)\) et \((2 - 2i)\), ainsi que le point \(C\) milieu du segment \([BD]\) dont on précisera l’affixe. (0,25 + 0,25 pt)

b) Déterminer l’ensemble \((\Delta)\) des points \(M\) d’affixe \(z\) tels que : \(\left|\dfrac{z + 1 + i}{z - 2 + 2i}\right| = 1\). (1 pt)

c) Montrer que \((\Delta)\) passe par \(A\). Achever alors la construction de \((\Delta)\). (0,5 + 0,5 pt)

3. On considère la similitude plane directe \(S\) définie par : \(S(B) = B\) et \(S(A) = D\). Préciser les éléments caractéristiques de \(S\). (0,5 + 0,5 + 0,5 pt)

EXERCICE 2 (5 points)

A. On dispose d’un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6.

1) On lance une fois le dé. Calculer la probabilité d’avoir un nombre strictement supérieur à 2. (0,5 pt)

2) Maintenant, on lance deux fois de suite ce dé. Une éventualité est un couple d’entiers naturels \((a,\,b)\). On appelle \(X\) la variable aléatoire qui, à chaque couple \((a,\,b)\) obtenu, associe le réel \(|a - b|\).

a) Déterminer l’univers-image de \(X\). (1 pt)

b) Établir la loi de probabilité de \(X\). (0,5 pt)

B. Lors d’un test, les notes obtenues par 4 candidats, aux épreuves de chant et de musique, sont indiquées dans le tableau suivant :

1) On sait que le point moyen associé à cette série statistique a pour coordonnées \(\overline{x} = 5\) et \(\overline{y} = 4{,}5\) ; déterminer les notes \(\alpha\) et \(\beta\) respectivement obtenues par deux candidats différents en musique et en chant. (0,25 + 0,25 pt)

2) Déterminer le coefficient de corrélation linéaire de cette série. Interpréter le résultat obtenu. (1 + 0,5 pt)

3) Déterminer l’équation de la droite de régression de \(y\) en \(x\). (1 pt)

PROBLÈME (10 points)

I. \(g\) est la fonction numérique définie et continue sur \(\left]0\,;\,+\infty\right[\) par \(g(x) = x^2 + \ln x\).

1) Dresser le tableau de variation de \(g\) sur \(\left]0\,;\,+\infty\right[\). (1 pt)

2) Montrer qu’il existe un réel unique \(\alpha\) dans \(\left]0\,;\,+\infty\right[\) tel que \(g(\alpha) = 0\). (0,5 pt)

3) Étudier le signe de \(g(x)\) suivant les valeurs de \(x\). (1 pt)

II. On considère maintenant la fonction numérique \(f\) définie sur \(\left]0\,;\,+\infty\right[\) par \(f(x) = (x + 1) - \dfrac{1 + \ln x}{x}\). On désigne par \((\mathcal{C})\) sa courbe représentative dans le plan \((P)\) muni d’un repère orthonormé direct \((O,\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath})\) d’unité 4 cm.

1) a) Montrer que \(f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}\) pour tout réel \(x\) de \(\left]0\,;\,+\infty\right[\), où \(f'\) est la fonction dérivée de \(f\). (1 pt)

b) En déduire que \(f'(x)\) a le même signe que \(g(x)\) pour tout réel \(x\) de \(\left]0\,;\,+\infty\right[\). (0,5 pt)

2) a) Calculer les limites de \(f\) aux bornes de \(\left]0\,;\,+\infty\right[\). (0,5 + 0,5 pt)

b) Dresser le tableau de variation de \(f\). (1,5 pt)

3) a) Montrer que la droite \((\Delta)\) d’équation \(y = x + 1\) est une asymptote oblique de \((\mathcal{C})\). (0,5 pt)

b) Déterminer l’abscisse de \(A\), point d’intersection de \((\mathcal{C})\) avec \((\Delta)\). (0,5 pt)

4) Tracer \((\Delta)\) et \((\mathcal{C})\) dans le même repère \((O,\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath})\). (0,5 + 1 pt)

5) Calculer l’intégrale \(I\) définie par \(I = \displaystyle\int_1^e \dfrac{1 + \ln x}{x}\,dx\). (1 pt)

Pour construire, on prendra : \(\dfrac{1}{e} = 0{,}4\) ; \(\alpha = 0{,}6\) et \(f(\alpha) = 0{,}8\).

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