Mathématiques BAC Série D 2007 Madagascar – Sujet

N.B. : Le candidat doit traiter les DEUX exercices et le PROBLÈME. Machine à calculer scientifique non programmable autorisée.

EXERCICE 1 (5 points)

Soit le polynôme \(P\) à variable complexe \(z\) défini par : \(P(z) = z^3 + (1 + i)z^2 + (4 - i)z - 6i + 12\).

1.

a) Calculer \(P(-3i)\). (0,5 pt)

b) Montrer que l’équation \(P(z) = 0\) admet une solution réelle \(\alpha\) que l’on déterminera. (0,5 pt)

c) Déterminer le nombre complexe \(\beta\) tel que \(P(z)\) puisse s’écrire sous la forme : \(P(z) = (z + 3i)(z + 2)(z + \beta)\). (0,5 pt)

d) Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \(P(z) = 0\). (0,75 pt)

2. Dans le plan complexe \((P)\) muni d’un repère orthonormé \((O,\,\vec{u},\,\vec{v})\), on considère les points \(A\), \(B\), \(C\) d’affixes respectives \(z_A = -3i\) ; \(z_B = -2\) et \(z_C = 1 + 2i\).

Déterminer la mesure de l’angle \((\overrightarrow{BA},\,\overrightarrow{BC})\) et \(\left|\dfrac{z_C - z_B}{z_A - z_B}\right|\), puis en déduire la nature du triangle \(ABC\). (0,25 + 0,25 pt)

3. Soit \(r\) la rotation de centre \(B\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{2}\). Écrire l’expression complexe de la rotation \(r\). (0,25 + 0,5 pt)

4. On considère la transformation \(S\) du plan \((P)\) dans \((P)\) qui à tout point \(M\) d’affixe \(z\) associe le point \(M'\) d’affixe \(z'\) tel que : \(z' = 2iz - 2 + 4i\).

a) Donner la nature et les éléments caractéristiques de \(S\). (0,25 + 0,75 pt)

b) Donner la nature et les éléments caractéristiques de la transformation \(h\) telle que \(r \circ h = S\). (0,5 pt)

EXERCICE 2 (5 points)

Un sac contient six jetons, portant les lettres A, B, C et D, dont la répartition suivant les couleurs est donnée par le tableau ci-dessous :

Chaque jeton a la même probabilité d’être tiré.

I. On tire au hasard et successivement sans remise trois jetons du sac.

1) Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :

\(E\) : « obtenir exactement un jeton rouge ». (0,5 pt)

\(F\) : « obtenir dans l’ordre, les lettres B, A, C ». (0,5 pt)

2) Soit \(X\) la variable aléatoire associée au rang de la première consonne sortie.

a) Déterminer l’univers-image de \(X\). (0,5 pt)

b) Établir la loi de probabilité de \(X\) et calculer l’espérance mathématique \(E(X)\). (1 + 0,25 pt)

II. Une épreuve \((E)\) consiste à tirer simultanément trois jetons du sac.

1) Calculer la probabilité de l’événement \(G\) : « obtenir les lettres du mot B A C ». (0,5 pt)

2) On répète trois fois de suite et d’une manière indépendante l’épreuve \((E)\). À chaque épreuve, on marque 1 point si l’événement \(G\) est réalisé, sinon on marque 0 point. Soit \(Y\) la variable aléatoire égale au total des points obtenus à l’issue des trois épreuves.

a) Préciser l’univers-image de \(Y\) et déterminer la loi de probabilité de \(Y\). (0,5 + 0,75 pt)

b) Calculer l’espérance mathématique \(E(Y)\) de \(Y\) puis la variance \(V(Y)\) de \(Y\). (0,25 + 0,25 pt)

PROBLÈME (10 points)

On considère la fonction numérique \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x) = (x^2 + 1)e^{-x} + x\).

On désigne par \((\mathcal{C})\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthonormé \((O,\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath})\) d’unité 1 cm.

I. Soit \(g\) la fonction numérique définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(g(x) = 1 - (x - 1)^2e^{-x}\).

a) Calculer \(\lim\limits_{x \to -\infty} g(x)\). (0,25 pt)

b) Montrer que \(\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = 1\), en admettant que \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^n} = +\infty\), \(n \in \mathbb{N}\). (0,25 pt)

c) Calculer la dérivée \(g'(x)\) de \(g\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\). (0,5 pt)

d) Dresser le tableau de variation de \(g\). (1 pt)

e) Calculer \(g(0)\) et en déduire le signe de \(g(x)\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\). (0,25 + 0,5 pt)

II. 1)

a) Montrer que \(\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = +\infty\) et \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\). (0,5 + 0,5 pt)

b) Montrer que pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(f'(x) = g(x)\) et dresser le tableau de variation de \(f\). (0,5 + 1 pt)

2)

a) Montrer que le point \(A\) d’abscisse 1 est un point d’inflexion de \((\mathcal{C})\). (0,5 pt)

b) Donner une équation de la tangente \((T)\) à la courbe \((\mathcal{C})\) au point \(A\). (0,5 pt)

c) Montrer que la droite \((\Delta)\) d’équation \(y = x\) est une asymptote oblique à \((\mathcal{C})\). (0,5 pt)

d) Étudier la branche infinie de \((\mathcal{C})\) en \(-\infty\). (0,5 pt)

e) Tracer \((T)\), \((\Delta)\) et \((\mathcal{C})\). (0,25 + 0,25 + 1 pt)

3)

a) À l’aide d’une double intégration par parties, calculer l’intégrale : \(I = \displaystyle\int_0^1 x^2e^{-x}\,dx\). (0,5 pt)

b) En déduire l’aire géométrique \(\mathcal{A}\), en cm², du domaine plan limité par la courbe \((\mathcal{C})\), la droite \((\Delta)\) et les droites d’équations \(x = 0\) et \(x = 1\). (0,75 pt)

On donne : \(e \approx 2{,}7\) ; \(e^{-1} = \dfrac{1}{e} \approx 0{,}4\).

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