MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE
Direction Generale de l’Enseignement Superieur
Session 2023 – Serie C
| Epreuve : MATHEMATIQUES | Coefficient : 5 |
| Duree : 4 heures | Code matiere : 009 |
N.B. : Machine a calculer scientifique non programmable autorisee. L’exercice et les deux problemes sont obligatoires.
1.
a) En utilisant l’algorithme d’Euclide, montrer que 56 et 15 sont premiers entre eux. (0,5 pt)
b) En deduire le couple (u,v) ∈ Z × Z sachant que 56u + 15v = 1 (0,5 pt)
2.
a) Resoudre dans Z : 56x ≡ 35 [15] (0,5 pt)
b) Determiner les coordonnees des points, d’abscisses naturelles inferieures ou egales a 37 de la droite (D) d’equation : 56x – 12y – 2 = 0 (0,5 pt)
On dispose d’un de cubique bien equilibre dont les faces sont numerotees 1, 1, 1, 1, 2, 3.
1. Calculer la probabilite d’apparition de chaque numero lors d’un lancer. (0,5 pt)
2. On lance deux fois de suite ce de, on note x le numero apparu par le premier lancer et y pour le second. Soit (E) l’equation x2 + a.x + b = 0 dans R.
Calculer la probabilite de chaque evenement suivant :
A : “(E) a une racine double” (0,5 pt)
B : “(E) a pour racine -2 et -1” (0,5 pt)
3. On lance n fois de suite et d’une maniere independante ce de.
Determiner la probabilite de l’evenement :
C : “avoir au moins une fois le numero 1” (0,5 pt)
1. Soit (P) un plan oriente et soit ABCD un carre direct de cote a, a > 0 de centre E.
E est un point de (P) tel que EBFC est un carre.
1- Determiner les reels α, β et δ tels que C est le barycentre du systeme {(A;α), (B;β), (D;δ)} (0,5 pt)
2.
a) Determiner et construire l’ensemble (EΩ) des points M tels que :
MA2 – MB2 + MD2 = a2/2 (0,75 + 0,25 pt)
b) Verifier que E ∈ (EΩ) (0,25 pt)
3. Soient r la rotation de centre E et d’angle π
S la symetrie orthogonale d’axe (FC)
f la transformation definie par f = roS
a) En decomposant r en deux symetries orthogonales d’axes convenablement choisis.
Montrer que f = S(AC) o t2CE = S(AC) o tCA (0,5 + 0,25 + 0,25 pt)
b) En deduire la nature et les elements caracteristiques de f (0,5 pt)
II) Le plan (P) est rapporte a un repere orthonorme direct (O, i, j) d’unite 1 cm. Soient A et B deux points de (P) d’affixes respectives -1 – i et 2 – 2i
1) Placer A et B (0,25 pt)
2)
a) Determiner l’affixe du point D image de B par la rotation de centre A et d’angle π/4 (0,75 pt)
b) Trouver l’affixe du point C barycentre du systeme {(A;-1), (B;1), (D;1)} (0,5 pt)
c) Donner deux applications affines qui laissent invariant le carre ABCD (0,5 pt)
d) Quelle est l’affixe du point E milieu de [AC] ? (0,25 pt)
3) Soit g la transformation d’ecriture complexe :
g : z’ = ((1+i√3)/2) z + (√3+i)/2
a) Determiner l’ecriture complexe de gog. (0,5 pt)
b) En deduire la nature et les elements caracteristiques de g. (1 pt)
On considere la fonction f definie sur R par :
f(x) = x.ln|x| – x + 2 si x < 0
f(x) = (2-x)ex si x ≥ 0
On note (Cf) sa representation graphique dans le plan muni d’un repere orthonorme (O, i, j) d’unite 1cm.
1)
a- Montrer que f est continue en x0 = 0 (0,5 pt)
b- Etudier la derivabilite de f en x0 = 0. Interpreter le resultat. (0,5 + 0,25 pt)
2)
a- Etudier les variations de f (1 pt)
b- Dresser le tableau de variation de f (0,5 pt)
3) Montrer que l’equation f(x) = 0 admet une solution unique α ∈ ]-5 ; -4[ (0,5 pt)
4) Construire (Cf) et les deux demi-tangentes en x0 = 0 (1 pt)
Soit In l’integrale definie par : pour tout n ≥ 1
In = (1/n!) ∫02 (2-x)n ex dx
1) En utilisant l’integration par parties. Calculer I1. Interpreter le resultat. (0,5 + 0,25 pt)
2) Pour tout n ≥ 1, montrer que 0 ≤ In ≤ (2n/n!)(e2 – 1) (0,75 pt)
3) Demontrer que pour tout n ≥ 1 : In+1 = (-2n+1)/((n+1)!) + In (0,5 pt)
4) Montrer, en utilisant le raisonnement par recurrence que pour tout n ≥ 1 :
1 + 2/1! + 22/2! + … + 2n/n! + In = e2
(0,5 pt)
5) Soit (Un) une suite definie par Un = 2n/n! ; n ≥ 1
a) En exprimant Un+1/Un en fonction de n, montrer que pour n ≥ 3, Un+1 ≤ (1/2) Un (1 pt)
b) Montrer que pour tout n ≥ 3, 0 ≤ Un ≤ (1/2)n-3 U3 (0,5 pt)
c) En deduire lim(n→+∞) Un, puis lim(n→+∞) In en utilisant la deuxieme question. (0,25 + 0,25 pt)
d) Verifier que lim(n→+∞) (1 + 2/1! + 22/2! + … + 2n/n!) = e2 (0,25 pt)