DIRECTION DE L’ENSEIGNEMENT SUPÉRIEUR
Service du Baccalauréat
Session 2023 — Série C
| Épreuve : MATHÉMATIQUES | Coefficient : 5 |
| Durée : 4 heures | Code matière : 009 |
N.B. : Machine à calculer scientifique non programmable autorisée. L’exercice et les deux problèmes sont obligatoires.
I/ Arithmétique
1.
a) En utilisant l’algorithme d’Euclide, montrer que 56 et 15 sont premiers entre eux.
b) En déduire le couple \((u,v) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\) sachant que \(56u + 15v = 1\).
2.
a) Résoudre dans \(\mathbb{Z}\) : \(56x \equiv 2\;[15]\).
b) Déterminer les coordonnées des points, d’abscisses naturelles inférieures ou égales à 37, de la droite \((D)\) d’équation : \(56x – 12y – 2 = 0\).
II/ Probabilité
On dispose d’un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées 1, 1, 1, 1, 2, 3.
1. Calculer la probabilité d’apparition de chaque numéro lors d’un lancer.
2. On lance deux fois de suite ce dé ; on note \(a\) le numéro apparu par le premier lancer et \(b\) celui du second. Soit \((E)\) l’équation \(x^2 + ax + b = 0\) dans \(\mathbb{R}\). Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
\(A\) : « \((E)\) admet une racine double ».
\(B\) : « \((E)\) admet pour racines \(-2\) et \(-1\) ».
3. On lance \(n\) fois de suite et d’une manière indépendante ce dé. Déterminer la probabilité de l’événement \(C\) : « avoir au moins une fois le numéro 1 ».
I) Soit \((P)\) un plan orienté et soit \(ABCD\) un carré direct de côté \(a\), \(a > 0\), de centre \(E\). \(F\) est un point de \((P)\) tel que \(EBFC\) soit un carré.
1. Déterminer les réels \(\alpha\), \(\beta\) et \(\delta\) tels que \(C\) soit le barycentre du système \(\{(A\,;\,\alpha),\,(B\,;\,\beta),\,(D\,;\,\delta)\}\).
2.
a) Déterminer et construire l’ensemble \((\mathcal{C}_a)\) des points \(M\) tels que \(-MA^2 + MB^2 + MD^2 = \dfrac{a^2}{2}\).
b) Vérifier que \(E \in (\mathcal{C}_a)\).
3. Soient \(r\) la rotation de centre \(E\) et d’angle \(\pi\), \(S\) la symétrie orthogonale d’axe \((FC)\), et \(f\) la transformation définie par \(f = r \circ S\).
a) En décomposant \(r\) en deux symétries orthogonales d’axes convenablement choisis, montrer que \(f = S_{(AC)} \circ t_{2\overrightarrow{CE}} = S_{(AC)} \circ t_{\overrightarrow{CA}}\).
b) En déduire la nature et les éléments caractéristiques de \(f\).
II) Le plan \((P)\) est rapporté à un repère orthonormé direct \((O,\,\vec{u},\,\vec{v})\) d’unité 1 cm. Soient \(A\) et \(B\) deux points de \((P)\) d’affixes respectives \(-1 – i\) et \(2 – 2i\).
1. Placer \(A\) et \(B\).
2.
a) Déterminer l’affixe du point \(D\), image de \(B\) par la rotation de centre \(A\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{2}\).
b) Trouver l’affixe du point \(C\), barycentre du système \(\{(A\,;\,-1),\,(B\,;\,1),\,(D\,;\,1)\}\).
c) Donner deux applications affines qui laissent invariant le carré \(ABCD\).
d) Quelle est l’affixe du point \(E\), milieu de \([AC]\) ?
3. Soit \(g\) la transformation d’écriture complexe \(g : z’ = \dfrac{1 + i\sqrt{3}}{2}\,\overline{z} + \dfrac{\sqrt{3} + i}{2}\).
a) Déterminer l’écriture complexe de \(g \circ g\).
b) En déduire la nature et les éléments caractéristiques de \(g\).
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\[ \begin{cases} f(x) = x\ln|x| – x + 2 & \text{si } x < 0 \\ f(x) = (2 – x)\,e^{x} & \text{si } x \geq 0 \end{cases} \]
On note \((\mathcal{C})\) sa représentation graphique dans le plan muni d’un repère orthonormé \((O,\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath})\) d’unité 1 cm.
1.
a) Montrer que \(f\) est continue en \(x_0 = 0\).
b) Étudier la dérivabilité de \(f\) en \(x_0 = 0\). Interpréter le résultat.
2.
a) Étudier les variations de \(f\).
b) Dresser le tableau de variation de \(f\).
3. Montrer que l’équation \(f(x) = 0\) admet une solution unique \(\alpha \in \left]-5\,;\,-4\right[\).
4. Construire \((\mathcal{C})\) et les deux demi-tangentes en \(x_0 = 0\).
Soit \(I_n\) l’intégrale définie, pour tout \(n \geq 1\), par :
\(I_n = \dfrac{1}{n!}\displaystyle\int_0^2 (2 – x)^n e^{x}\,dx\)
1. En utilisant une intégration par parties, calculer \(I_1\). Interpréter le résultat.
2. Pour tout \(n \geq 1\), montrer que \(0 \leq I_n \leq \dfrac{2^n}{n!}(e^2 – 1)\).
3. Démontrer que pour tout \(n \geq 1\) : \(I_{n+1} = -\dfrac{2^{n+1}}{(n+1)!} + I_n\).
4. Montrer, en utilisant un raisonnement par récurrence, que pour tout \(n \geq 1\) :
\(1 + \dfrac{2}{1!} + \dfrac{2^2}{2!} + \ldots + \dfrac{2^n}{n!} + I_n = e^2\)
5. Soit \((U_n)\) la suite définie par \(U_n = \dfrac{2^n}{n!}\) ; \(n \geq 1\).
a) En exprimant \(\dfrac{U_{n+1}}{U_n}\) en fonction de \(n\), montrer que pour \(n \geq 3\), \(U_{n+1} \leq \dfrac{1}{2}U_n\).
b) Montrer que pour tout \(n \geq 3\), \(0 \leq U_n \leq \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-3}U_3\).
c) En déduire \(\lim\limits_{n \to +\infty} U_n\), puis \(\lim\limits_{n \to +\infty} I_n\) en utilisant la question 2.
d) Vérifier que \(\lim\limits_{n \to +\infty} \left(1 + \dfrac{2}{1!} + \dfrac{2^2}{2!} + \ldots + \dfrac{2^n}{n!}\right) = e^2\).