MINISTÈRE DE L’ENSEIGNEMENT SUPÉRIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE
Direction de l’Enseignement Supérieur — Service d’Appui au Baccalauréat
Session 2021 — Série Scientifique — Option C
| Épreuve : MATHÉMATIQUES | Coefficient : 5 |
| Durée : 04 heures | Code matière : 009 |
N.B. : L’exercice et les deux problèmes sont obligatoires. Machine à calculer scientifique non programmable autorisée.
I) Arithmétique
Soient n un entier naturel, a et b deux entiers relatifs premiers entre eux.
1. Montrer que les deux entiers 2n + 3 et n + 1 sont premiers entre eux. (0,5 pt)
2.
a) Montrer que pgcd(a, a + b) = pgcd(b, a + b) = 1. (0,5 pt)
b) En déduire que a + b et ab sont premiers entre eux (on pourra utiliser le théorème de Bezout). (0,75 pt)
3. Montrer que la fraction rationnelle (3n + 4)⁄[(n + 1)(2n + 3)] est irréductible. (0,25 pt)
II) Probabilité
On dispose de 5 trous alignés numérotés de 1 à 5 et 5 billes numérotées de 1 à 5. On lance les 5 billes vers les 5 trous ; chaque bille entre alors dans un trou et chaque trou peut recevoir 0 à 5 billes. On admet que tous les événements élémentaires sont équiprobables.
1. Calculer le nombre de dispositions possibles de répartition des 5 billes dans les 5 trous. (0,5 pt)
2. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
A : « Toutes les 5 billes se trouvent dans un même trou ». (0,5 pt)
B : « La bille numéro 1 se trouve dans un trou de numéro pair ». (0,5 pt)
C : « Chaque trou contient exactement une bille ». (0,5 pt)
Dans le plan orienté (𝒫), on considère le triangle direct OAB isocèle et rectangle en O. On désigne par C le point du plan (𝒫) tel que BAC soit un triangle direct rectangle en B et AC = 2AB. Soient I et K, les milieux respectifs des segments [AB] et [OA].
Soient r : la rotation de centre O qui transforme A en B ;
t : la translation de vecteur OA⃗ ;
s : la similitude plane directe de centre A qui transforme le point B en C.
On pose f = t ∘ r.
A)
1. Tracer les deux triangles OAB et BAC, et placer les deux points I et K (pour la construction seulement, prendre OA = 3 cm). (0,5 pt)
2. Déterminer et construire le barycentre G des points A, B, C affectés des coefficients respectifs 1, −1, 1. (0,5 + 0,25 pt)
3. Déterminer et construire dans la figure précédente l’ensemble (𝒞) des points M tels que MA2 − MB2 + MC2 = AB2. (0,5 + 0,25 pt)
B)
1. Déterminer l’angle de r. (0,25 pt)
2.
a) Donner la nature de f. (0,25 pt)
b) Décomposer respectivement la rotation r et la translation t en produit de deux symétries orthogonales convenablement choisies. (0,5 + 0,5 pt)
c) Caractériser f. (0,5 pt)
3. Déterminer le rapport de s et donner une mesure en radian de l’angle de s. (0,25 + 0,25 pt)
C) Le plan est rapporté au repère (O, OA⃗, OB⃗).
1. Donner les affixes des points A, B et I. (0,5 pt)
2.
a) Déterminer les expressions complexes de r et t. (0,25 + 0,25 pt)
b) En déduire l’expression complexe et les éléments caractéristiques de f. (0,25 + 0,25 pt)
3. En admettant que mes(AB⃗, AC⃗) = −π/3, déterminer l’expression complexe de s et l’affixe du point C. (0,5 + 0,5 pt)
Partie A
Soit f la fonction définie sur ℝ par :
| f(x) = (1 − x)e2x | si x ∈ ]−∞ ; 1[ |
| f(x) = x − 1 + ln(2x⁄(x + 1)) | si x ∈ [1 ; +∞[ |
On désigne par (𝒞) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O, i⃗, j⃗) d’unité 2 cm.
1. Montrer que f est continue en x0 = 1. (0,5 pt)
2. Étudier la dérivabilité à gauche de f en x0 = 1. (0,25 pt)
3.
a) Calculer limx→1 [ln(x + 1) − ln 2] ⁄ (x − 1) (on pourra poser x = 2t + 1). (0,5 pt)
b) Vérifier que pour tout x > 1 : [f(x) − f(1)]⁄(x − 1) = 1 + ln x⁄(x − 1) − [ln(x + 1) − ln 2]⁄(x − 1). (0,5 pt)
c) Étudier la dérivabilité à droite de f en x0 = 1. f est-elle dérivable en x0 = 1 ? (0,5 + 0,25 pt)
4.
a) Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition. (0,5 pt)
b) Montrer que (𝒞) admet une asymptote oblique (D) dont on déterminera l’équation. Étudier la position de (𝒞) par rapport à (D) dans l’intervalle [1 ; +∞[. (0,5 + 0,25 pt)
5. Étudier la variation de f. (0,75 pt)
6. Tracer (𝒞) en précisant les demi-tangentes au point d’abscisse x0 = 1. (1,25 pt)
Partie B
On considère la suite (In) définie par :
I0 = ∫01 x ex dx et ∀n ∈ ℕ*, In = ∫01 x ex(1 − e−2x)n dx
1. Calculer l’intégrale I = ∫01 x e3x dx. (0,5 pt)
2. Soit (Kn) la suite définie par ∀n ∈ ℕ*, Kn = ∫01 x e3x(1 − e−2x)n dx.
a) Montrer que ∀n ∈ ℕ*, 0 ≤ Kn ≤ (e3/2)(1 − 1/e2)n. (1 pt)
b) Déterminer limn→+∞ Kn. (0,5 pt)
3. Pour tout entier naturel n ≥ 2, on pose Tn = I0 + I1 + … + In−1.
a) Démontrer que Tn = I − Kn. (1 pt)
b) En déduire l’étude de convergence de la suite (Tn). (0,25 pt)