MINISTËRE DE L’ENSEIGNEMENT 5UPÉRIEUR
ET DE LÀ RTCHERCHE SCITNTIFIQUE
sECRÉTARI.{T cÉNÉMI
D rRErîroN ceHunnrr’oi i’ e*iucHr,urH, supÉnrEun
BACCALÀURÉAT D’ ENSEIGNEMENT GÉNÉRÂL
trtRHcloN DE L’ENSEIGNEI!{EHr supÉRtruR
§ES§ ,o§ 202t
§ervice d’Âppui au tsaccalauréat
H_ ;#r: =-3{
Série de
G Option ; §cientifique É D pr u eu r v é e e : IY1ATHÉÀrÀTlquE§
: C : 04 heures
Code matière : 009 Coefficient : 5
:
N.B. L’exercice et [es deux problèmes sont obtigatoires,
*lachine à calculer scientifique non p!’ogrammable autorisée”
EXERçJC_E (04 points)
t) Arjthüétique
soient /, un entier nâturet, ct al b deux entiers relatifs premiers entre eux.
1-
Montrerque les deux entiers 2n*3 et n*1 sont premiers entreeux. (0,5)
2-
a) Montrer que pgcd(cl, a + b) = pgccl(b, u + b) =1 . (0,5)
b) En déduire que a + à et aô sont premiers entre eux (on pourra utitiser te théorèrne de
Bezout).
(o,7§)
3n+4
3-
ivtontrer que ta fraction rationne[e est irréductible. (0,25)
(n+ t)(Zn+3′)
ll) PrelFabitiré
OndisposedeStrousatignésnumérotésde1àSet5bittesnumérotéesde1àS.Onlanceteslbiftesverstes5
trou§ ; chaque bitle entre ators dans un trou et chaque trôu peut recevoir 0 à 5 bitles. On admet que tous les
évânements étémentaires sont équiprobabtes.
1′
z’ Calculer le nombre de dispositions possibles de répartition des E bittes dans tes E trous. {o,5}
calcuier ta probabitit6 de chacun des événements suivants
:
A : ” Toutes tes 5 bitles se trouvent dans un même trou ,. (0,5)
B : ” La bitte numéro 1 se trouve dans un trou de nunréro pair ,. (0,5)
C : ” Chaque trou rontient sxâctement une bitte ,. (û,5)
PRpBUÈtytË,t (07 points)’
Dans [e ptan orienté P, on considère le triangte direct Ol8 isocète et rectangle en O. CIn désigne par C te point
du plan ? tet que BAC soit un triangie direct rectangle en B et .dC:2A8. Soient / et K, les milieux
respectifs des segments [1.B]et [Oll.
Soient r
: la rotation de centre O qui transforme A en B
,
r : la transtation de vecteur Dl
.
s : la similitude plane directe de centre ,4 qui transforrne te po.int B en C
.
Onpose.f =l”r
A) 1-
Tracer les deux triangtËs OAB et BAC , et ptacer tes deux points f et-& , (pour la
:
construction seutement, prendre A,4 3cnt ). (o,5)
2- (i
Déterminer et cortstruire le barycentre des points Â, B,C affectés des coefficients
respectifs 1,*1,1.
(O,5+0,25)
3′
Déterminer et construire dans ia figure précédente [‘ensembte rW, despoints ]/ te{s que
hL42 – id\” + MC’ : AB2 . (0,5+0,25)
B) 1-
Déterminer l,angte de y
,
{0,25}
7-
a) Donner [a nature de
.y’.
(0,25)
b) Décomposer respectivement ta rotation r et tâ transtation /en procluit de deux symétries
orthogonales convenablement choisies.
{0,5+0,5)
1,12
c) (aractériser./’
. (0,5)
3-
Déterminer te rapport dr: s et donner une mesure en radian de [‘angle de s (O,25+0,25)
.
C)
Le ptan est rapporté ar I repère ( t’1,ü, AÉ1 .
1′
Donner tes affixes des points A , B et J . (0,5)
2-
ai Déterminer les expressions comptexes de r et l. (0,25+0,25)
b) En déduire [‘exprr:ssion comptexe et les étéments caractéristiQues de /. (0,25+0,25)
3- *+,
En admettant que rnes(ZÉ,Ve) = déterminer l’expression cqmptexe de s et [‘affixe
J
du point C’. (0,5+O,5)
[
PROB!ÈUE (CI9 points)
Partie A
I ttr> = 1l- x)ez’ si x e l-*;t[
soit /la ronction dérinje sur R’ our,
{..r,r) =x_,.*[#)
r,r=1r,*_J
r?i
on dé’signe par [a courbe’r”eprésentative de -f dans un repère orthonormé t{},7,}} d,unité 2 cm.
1″
idontrer que ./’ est co ntinu€ ôrI ro = | , (0,5)
2- *
Étudier ta dérivabitité à g:ruche de / en xo 1 . (0,25)
3- IjTEI’.r+È3
a) catcuter x+t {on pourra poser n =Zt-tl),
f_l
j:’*1* ln(x+1)*In2,
bi vérifier que pour Lout ,x >1 “f(x x ) – * l / (t) = t+ x-i x-l (0,5)
c1 Étudier la dérivabitité à tiroite de/en rr =1, jfesr-ette dérivabte en xo * l (0,5+0,25)
?
4′
a) Calcuter tes limites de/ aux bornes de son ensembie de définition. (0,5)
tl{t
b) Montrer que admet une asyrnptote obtique 1D) dont on déterminera t’équation.
Étudier ta positicn de r4t par rapport à (D) dans l,intervatte [1, + *[ . j’1 l (0,5+0,25)
5-
Étudier la variation de f
. {0,75}
6- r3l
Tracer en précisant tes demi-tangentes au point drabscissexo =: 1 (1,251
“
Pqrtie B
On considère [a suite (I,)défirrie par
:
xe’dx
i, =ij er Vr e lJ’ I, = J’ -re’ ( L – e-2* )’ dx
1-
Catcurer l’inrégrate t = JJ xdr e{x (0,5)
7-
Soit (K,) [a suite définit: par Vr e IN. K, =, J’rrr,{l *e’rr), dx .
I ‘\”
a)Montrer que Vn e N* o < K. 't =! n Z - l \ (r* _ e l l - l' ) (1)
b) Déterminerlim K,
. (0,5)
3′ Pour toüt entier naturel n\Z , on pose L : Io + I, +,..* In_r .
a) Démontrer q,de L = I -Kn. (1)
b) En déduire t.,étude de convergence de ta suite (1,). (0,25)
-*/\-.^îlüi)U-^.*’-
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