DIRECTION DE L’ENSEIGNEMENT SUPÉRIEUR
Service d’Appui au Baccalauréat
Session 2020 — Série C
| Épreuve : MATHÉMATIQUES | Coefficient : 5 |
| Durée : 04 heures | Code matière : 009 |
N.B. : Machine à calculer scientifique non programmable autorisée. L’exercice et les deux problèmes sont obligatoires.
Arithmétique
I.
1. Dresser les tables d’addition et de multiplication dans \(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}\).
2. Résoudre dans \(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/7\mathbb{Z}\) le système.
\[ \begin{cases} \overline{3}x + \overline{2}y = \overline{1} \\ \overline{2}x + \overline{5}y = \overline{3} \end{cases} \]
II. Montrer que pour tout entier naturel \(n\), le nombre \(10^{6n} + 10^{3n} - 2\) est divisible par 111.
Probabilité
On dispose d’un dé cubique pipé dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On désigne par \(P_i\) la probabilité d’obtenir le nombre \(i\) après un lancer et on admet que \(P_1 = P_3 = P_5\) ; \(P_2 = P_4 = P_6\) et \(P_2 = 2P_1\).
1. On lance une fois ce dé.
a. Calculer les probabilités \(P_i\) avec \(i \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\).
b. Montrer que la probabilité d’obtenir un nombre impair est \(P = \dfrac{1}{3}\).
2. On lance le dé \(n\) fois de suite et d’une manière indépendante, où \(n \in \mathbb{N}^*\).
a. Calculer en fonction de \(n\) la probabilité \(P(E_n)\) de l’événement \(E_n\) : « obtenir au moins un nombre pair ».
b. Calculer \(\lim\limits_{n \to +\infty} P(E_n)\).
c. Déterminer l’entier naturel \(n_0\) tel que \(P(E_{n_0}) = \dfrac{2186}{2187}\).
Dans l’ensemble \(\mathbb{C}\) des nombres complexes, on considère le polynôme \(P\) défini par
\(P(z) = z^4 + 3z^2 - 6z + 10\)
1. Montrer que si un nombre complexe \(z_0\) est une solution de l’équation \(P(z) = 0\) alors \(P(\overline{z_0}) = 0\) où \(\overline{z_0}\) est le nombre complexe conjugué de \(z_0\).
2.
a) Calculer \((1 + i)^2\), \((1 + i)^4\) et \(P(1 + i)\).
b) En déduire deux solutions de l’équation \(P(z) = 0\).
3.
a) Trouver le polynôme \(Q(z)\) tel que \(P(z) = (z^2 - 2z + 2)Q(z)\).
b) Achever la résolution dans \(\mathbb{C}\) de l’équation \(P(z) = 0\).
Dans le plan orienté \((\mathcal{P})\), on considère le carré direct \(ABDC\). On désigne par \(E\) le point symétrique de \(B\) par rapport à \(A\) et par \(F\) le point symétrique de \(D\) par rapport à \(B\).
Soient \(s_1\) la symétrie orthogonale d’axe \((AB)\), et \(s_2\) la symétrie orthogonale d’axe \((BC)\).
Soit \(r\) la rotation qui transforme \(B\) en \(C\) et \(C\) en \(E\).
On pose \(f = s_2 \circ s_1\) et \(g = t_{\overrightarrow{AB}} \circ s_1\) où \(t_{\overrightarrow{AB}}\) est la translation de vecteur \(\overrightarrow{AB}\).
I.
1.
a) Tracer le carré \(ABDC\) et placer les points \(E\) et \(F\) (prendre \(AB = 4\) cm).
b) Déterminer l’image de \(C\) par \(g\).
2. Donner la nature et les éléments caractéristiques de \(f\).
3.
a) Montrer que \(r\) est la rotation de centre \(A\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{2}\).
b) Quelle est la nature de \(T = f \circ r\) ?
c) Décomposer \(r\) en produit de deux symétries orthogonales convenablement choisies et caractériser \(T = f \circ r\).
II. Le plan \((\mathcal{P})\) est muni du repère orthonormé direct \((A,\,\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AC})\).
1. Donner les affixes respectives des points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\) et \(F\).
2.
a) Déterminer les expressions complexes de \(r\), \(s_1\) et \(s_2\). (3 × 0,25 pt)
b) En déduire les expressions complexes de \(f\) et \(T\).
(Les deux parties A et B sont indépendantes)
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\[ \begin{cases} f(x) = (x + 1)\,e^{-2x} - 1 & \text{si } x \leq 0 \\ f(x) = \dfrac{x}{x - \ln x} & \text{si } x > 0 \end{cases} \]
On désigne par \((\mathcal{C})\) la courbe de \(f\) dans un plan muni d’un repère orthonormé \((O,\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath})\) d’unité 2 cm.
I.
1. Montrer que \(f\) est continue en \(x_0 = 0\).
2.
a) Étudier la dérivabilité de \(f\) en \(x_0 = 0\).
b) Interpréter géométriquement le résultat.
3. Calculer \(\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)\) et \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)\).
4.
a) Déterminer la fonction dérivée de \(f\) sur chacun des intervalles \(\left]-\infty\,;\,0\right[\) et \(\left]0\,;\,+\infty\right[\).
b) Dresser le tableau de variation de \(f\).
5.
a) Montrer que l’équation \(f(x) = 0\) admet une solution unique \(\alpha\) dans l’intervalle \(\left]-\infty\,;\,-\dfrac{1}{2}\right[\).
b) Vérifier que \(\alpha \in \left]-1\,;\,-\dfrac{3}{4}\right[\).
6.
a) Étudier les branches infinies de \((\mathcal{C})\).
b) Tracer \((\mathcal{C})\) en précisant la tangente ou les demi-tangentes à l’origine.
II. Soit \(g\) la fonction définie sur \(\left[-1\,;\,-\dfrac{3}{4}\right]\) par \(g(x) = e^{2x} - 1\).
1. En utilisant l’égalité \(f(\alpha) = 0\), démontrer que \(g(\alpha) = \alpha\).
2. Montrer que pour tout \(x \in \left[-1\,;\,-\dfrac{3}{4}\right]\), on a \(g(x) \in \left[-1\,;\,-\dfrac{3}{4}\right]\) et \(|g'(x)| \leq \dfrac{1}{2}\) où \(g'\) est la fonction dérivée de \(g\).
3. Soit \((U_n)_{n \in \mathbb{N}}\) la suite définie par :
\[ \begin{cases} U_0 = -1 \\ \forall n \in \mathbb{N},\ U_{n+1} = g(U_n) \end{cases} \]
a) À l’aide d’une démonstration par récurrence sur \(n\), montrer que \(\forall n \in \mathbb{N},\ U_n \in \left[-1\,;\,-\dfrac{3}{4}\right]\).
b) Montrer que \(\forall n \in \mathbb{N},\ |U_{n+1} - \alpha| \leq \dfrac{1}{2}|U_n - \alpha|\).
c) Montrer que \(\forall n \in \mathbb{N},\ |U_n - \alpha| \leq \left(\dfrac{1}{2}\right)^n|U_0 - \alpha|\) et étudier la convergence de la suite \((U_n)_{n \in \mathbb{N}}\).
Soient \(I\) et \(J\), deux intégrales définies par :
\(I = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{-2x}\cos^2 x\,dx\) et \(J = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{-2x}\sin^2 x\,dx\)
1. Calculer \(I + J\).
2. À l’aide de deux intégrations par parties, calculer \(I - J\).
3. En déduire les valeurs respectives des intégrales \(I\) et \(J\).
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