Session 2020 — Série C
6; En aeAuire deux solutions de l’équation P(e) = S. (0,25 p$
3. a) Trouver le polynôme Q(z) tet que P():(22 -22+Z)Q(z). (0,5 pt)
b) Achever la résolution dans C de l’équation P(z) = Q. (0,5 pt)
Partie B
(9),
Dans le plan orienté on considère le caùé direct ABDC. On désigne par E le point
symétrique de B par rapport à A et par F le point symétrique de D par rapport à B.
Soient s, la symétrie orthogonale d’ære (AB), et s, la symétrie orthogbnale d’axe (BC).
r
Soit la rotation qui transforme B en C et C en E.
* :
On pose .f rro s, et g ,Æ os, où /g est la translation de vecteurE .
1. a) Tracer le carré ABDC et placer les points E et F (prendre AB :4cm). (0,5 pt)
b) Déterminer f image de C par g. (0,25 pt)
2. Donner la nature et les éléments caractéristiques de/. (0,25 + A,25 pt)
r
3. a) Montrer que est la rotation de centre A et d’angrc 1. (0,5 pt)
2
b) Quelle est la nature 6s 7 = far? (0,25 pt)
r
c) Décomposer en produit de deux symétries orthogonales convenablement
I
choisies et caractériser = for. (0,5 + 0,25 pt)
(9)
II. Le plan estmuni du repère orthonormé direct (e,Æ,AC)
1. Donner les affixes respectives des points A, B, C, D, E et F. (0,5 pt)
2. a) Déterrriner les expressions complexes de r , s, et sr. (3 x 0,25 pt)
b) En déduire les expressions cornplexes de f etT. (0,25 + 025 p0
II
Problème (9 points) (Les deux parties A et B sont indépendantes)
Partie A
Soit / la fonction definie sur IR par
if@)=(x+1)e-2′-1 si:<0
r-
)
lrtrl =- si
L r-hx x > o
On désigne par (0) la courbe de / dans un plan m’uni cl’un repère orthonormé (OiJ) d’unité 2 em.
I.
l. Montrer que,f est continue en xo – 0. (0,5 pt)
2. a) Etudier la dérivabilité de / en xo = 6. (0,5 pt)
b) Interpréter géométriquement le résultat. (0,25 pt)
3. Calculer §g/tx)et lim /(x). (0,25 + 0,25 pt)
4. a) Déterminer la fonction dérivée de/ sur chacun des intervalles ]-æ,0[ et ]0, +o[. (A,25 + 0,25 pt)
b) Dresser le tableau de variation de/. (0,75 pt)
5. a) Montrer que l’équation /(x) = 0admet une solution unique a dans
–‘
l’interv’a*^lle” 1l -*.-11- (0,5 pt)
2L’
2t3
r I af .
b) vérifîer q’u e
d.l
I
– r,’- 1
4
[.
L (o’25 Pt)
6. a) Etudier les branchos infinies de (ô), (0,25 pt)
b) Tracer (t) en précisant la tangente ou les demi-tangentes à l’origine. (1 p0
il. soit g la fonction défînie ,r. sfrl = e2r *1.
[-r,-i]n*
l. En utitisant l’égalitét f (a) = 0, démontrer que g(a) = ça. (0,5 pt)
x.[-r,-ï],ona g(r).[-r,-i] r’
2.Montrerquepourtout et [s(x)[=] oo
L
g.
est la fonction dérivée de (0,25 + 0,25 pt)
-‘
3. Soit (U,),.n la suite définie p’ “, {- *,’î,=
LV, € – N[, U,*r = g(U,)
a) A I’aide d’une démonstration par recurrence surn,
montrer que Vn € N , U, . [ L -r , ‘, – 1.l. (Q,5 pt)
4)
b) Montrer que Vr e N(, -“1<11u,-"1. (0,5 pt)
lu,-,
c) Montrer que Vn . N, lr, -4 =[]) f,l, -al et étudier la convergence
de la suite (U,), . (0,25 + 0,25 pt)
“o
Partie B
:
Soient.Iet,F, deux intégrales définies par
,r
, =1r’ cos2 x & et J =îr”rsin2 x dx
l.Calculer I+ J. (0,5 pt)
2. A l’aide de deux intégrations par parties, calculer I – J. (0,5 pt)
3. En déduire les valeurs respectives des intégrales f et J. (0,5 pt)
3t3