Mathématiques BAC Série C 2019 Madagascar – Sujet

BACCALAURÉAT – MATHÉMATIQUES

Session 2019 — Série C

BAC C 2019
Exercice 1 : (4 points)
Arithmétique
I. Dans ℤ x ℤ, on considère deux équations : (E 0 ):39x17y=1 et (E):39x17y=4.
1° Justifier que l’équation (E 0 )admet une solution dans ℤ x ℤ (sans résoudre l’équation (E 0 )).
2° a. Par l’algorithme d’Euclide relatif aux nombres 39 et 17, trouver une solution particulière de (E 0 ).
b. En déduire une solution particulière de (E).
c. Achever la résolution dans ℤ x ℤ de l’équation (E).
II. Soit n un entier naturel.
n
1° Montrer que si n est impair, alors 10 1 est divisible par 11.
n
2° Dans le cas n pair, donner le reste de la division euclidienne de 10 1 par 11.
Probabilité :
Une roulette truquée comporte quatre secteurs différents numérotés 1, 2, 3 et 4. Quand on lance la roulette, c’est-à-
dire lorsqu’on la fait tourner, un index fixe pointe sur l’un des quatre secteurs à l’arrêt.
Après un lancement, on note P k la probabilité pour que l’index pointe le secteur numéroté k où k{1;2;3;4}.
On admet qu’il existe un réel strictement positif α tel que P k =k.
1° Un joueur lance la roulette une fois.
a. Déterminer le réel α . En déduire les probabilités P , P , P et P .
1 2 3 4
b. Soit l’événement A : “L’index pointe sur un secteur portant un numéro impair”
2
Montrer que la probabilité de l’événement A est .
5
2° Soit n un entier naturel non nul.
Un autre joueur lance la roulette nfois de suite et d’une manière indépendante.
Soit q nla probabilité de l’événement : “L’index pointe au moins une fois sur un secteur portant un numéro pair”
a. Calculer q n en fonction de n.
b. Déterminer le plus petit entier naturel n vérifiant l’inégalité q n 0,99.
PROBLEME 1 : (7 points)
Dans un plan orienté (𝒫), on considère le triangle direct ABC, isocèle et rectangle en A tel que AB = 3cm.
On désigne par : (𝒟) la droite passant par B et perpendiculaire à (BC),

r la rotation de centre A, d’angle ,
A
2

r la rotation de centre B, d’angle – ,
B
2
1
h l’homothétie de centre B, de rapport ,
2
s la symétrie orthogonale d’axe (𝒟),
(𝒟)
s la symétrie orthogonale d’axe (AB).
(AB)
Partie A :
1° Construire le triangle ABC et tracer la droite (𝒟).
2° Déterminer et construire le barycentre G des points A, B et C affectés des coefficients respectifs – 1 ; 1 et 1.
3° a. Discuter suivant les valeurs du paramètre réel k l’existence et la nature de l’ensemble (𝓔 ) des points M
k
du plan (𝒫) tels que – MA2 + MB2 + MC2 = 18 – k2.

b. Construire l’ensemble (𝓔 ).
3
Partie B :
Soit f = r o r .
A B
1° a. Donner la nature de la transformation f . Justifier la réponse.
b. Déterminer l’image du point B par f . Caractériser f .
2° On pose s = f o s . En décomposant f en produit de deux symétrie orthogonales, montrer que s est une
(𝒟)
symétrie orthogonale dont-on déterminera l’axe.
3° Soit T = h o s .
(AB)
a. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de T.
b. Placer le point E image de C par la transformation T.
Partie C :
La plan (𝒫) est rapporté au repère orthonormé direct (A; AB, AC).
1° Donner les affixes des points A, B, C et G.
2° a. Déterminer l’expression complexe de chacune des transformations r , r , f et s .
A B (AB)
b. En déduire l’expression complexe de la transformation g = f o s .
(AB)
c. Donner la nature et les éléments caractéristiques de g.
PROBLEME 2 : (9 points)
 f(x)=(x1) 2 e x 1 si x;0

Soit f la fonction définie sur ;1 par :  1 1x .
f(x)= ln
 
si x0;1
 2 1x
On désigne par (𝒞) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O;i, j)d’unité 2cm.
Partie A :
1° Montrer que la fonction f est continue en x 0 =0.
2° a. Etudier la dérivabilité de f en x 0 =0.
b. Donner une interprétation géométrique.
3° a. Déterminer la fonction dérivée de f sur chacun des intervalles
;0
et
0;1
.
b. En déduire le tableau de variation de la fonction f sur
;1
.
4° Montrer que l’équation f(x)=0admet une solution unique α sur l’intervalle
;1
.
Vérifier que : 2,7 ; 2,4 .
5° Tracer la courbe (𝒞), préciser la tangente ou les demi-tangentes à l’origine du repère.
Partie B :
 1  
Pour une valeur fixe de x sur l’intervalle  0;  , on considère la suite I n (x) définie par :
 2 n
2n
x dt x t 1 1x
I 0 (x)= et pour tout n *, I n (x)= dt, on pose g(x)= ln  .
0
1t
2 0
1t
2 2 1x
1° Montrer que I 0 (x)= g(x).
 1 1 4
2° a. Montrer que pour tout t 0; , on a : 0   .
  2   1t 2 3
2n1
4x
b. En déduire que pour tout n *, 0  I n (x) 
3(2n1)

c. Calculer lim I n (x).
n 
3° a. Exprimer I 0 (x)I 1 (x) en fonction de x.
b. Généraliser le résultat précédent pour tout entier naturel n ; c’est-à-dire exprimer en fonction de x et n,
l’expression I n (x)I n1 (x).
c. En déduire que pour tout n , g(x)=P n (x)I n1 (x) où P n est une fonction polynôme à déterminer.
1 1 1 1
4° Soit (S n ) n la suite numérique définie par : S n =    …. .
1 3 5 2n1
1×2 3×2 5×2 (2n1)x2
ln3
A l’aide des résultats des questions précédentes, montrer que la suite (S n ) n converge vers .
2