MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE
Direction de l’Enseignement Superieur Public et Prive
Session 2018 – Serie C
| Epreuve : MATHEMATIQUES | Coefficient : 5 |
| Duree : 4 heures | Code matiere : 009 |
N.B. : L’utilisation d’une calculatrice scientifique non programmable est autorisee. L’exercice et les deux problemes sont obligatoires.
1. Soit l’entier naturel A = 3 × 5n-1 + 2n+2 avec n ≥ 1.
a) Montrer que A est divisible par 17. (0,5 pt)
b) En deduire que A est divisible par 17. (0,25 pt)
2. On ecrit naturel B ecrit 3122 en base 4 et 472 en base n. Determiner l’entier naturel n. (0,5 pt)
3. Calculer les entiers naturels non nuls a et b verifiant :
a2 – b2 = 2916 et PGCD(a,b) = 18 (0,75 pt)
Une urne contient 2n jetons rouges et (n+3) jetons noirs, n ∈ N*.
1. On tire au hasard successivement et sans remise trois jetons de l’urne.
a) Exprimer en fonction de n la probabilite P(A) de l’evenement :
A : “On obtient un jeton rouge au premier tirage” (0,75 pt)
b) Calculer lim P(A) (0,25 pt)
2. On tire au hasard successivement et avec remise trois jetons de l’urne.
a) Exprimer en fonction de n la probabilite P(B) de l’evenement :
B : “On obtient un jeton noir au premier tirage” (0,25 pt)
b) Calculer lim P(B) (0,25 pt)
I. Dans le plan oriente P, on considere le triangle ABC rectangle en A tel que BC = 2AB = 4cm et (AB, AC) = π/2
1. S est la similitude plane directe qui laisse invariant le point B et transforme le point A en C.
1- Construire, en vraie grandeur le triangle ABC. (0,25 pt)
2. Soit G le barycentre du systeme {(A,-1),(B,1), (C,1)}. Placer le point G. (0,25 pt)
a) Determiner puis construire l’ensemble (E1) = {M ∈ P / MA2 – MB2 + MC2 = 0} (0,5 pt + 0,25 pt)
b) Demontrer que, pour tout point M du plan : -2MA + MB + MC est un vecteur constant dont on precisera son ecriture en fonction de vecteurs connus. (0,5 pt)
c) Determiner puis construire l’ensemble :
(E2) = {M ∈ P / -2MA + MB + MC ||-MA + MB + MC|| = 0} (0,5 pt + 0,25 pt)
II. Determiner le rapport et l’angle de S. (0,5 pt)
3. Soient M0 le point du demi-cercle de diametre [BC] ne contenant pas A et M’ le point tel que BM’=2BM
et soit C, M et M’ soient alignes dans cet ordre.
a) Placer les points M et M’. (0,25 pt)
b) Montrer que S (M) = M’. (0,75 pt)
III. Le plan est muni d’un repere orthonorme direct (A; i, j) avec i = AB/2
1.
a) Donner les affixes des points B, C et G. (0,75 pt)
b) Determiner l’expression complexe de S. (0,75 pt)
c) En deduire les elements caracteristiques de S. (0,5 pt)
2) Soit T la transformation du plan definie par son expression complexe :
z’ = (-1 + i√3)z – 2 – 2i√3
a) Quelle est la nature de T ? (0,25 pt)
b) Determiner les elements caracteristiques de T. (1 pt)
On considere la fonction numerique f definie sur [0, +∞[ par :
f(x) = ln(x+1) si x ∈ [0, +∞[
f(0) = 1
On note par (Cf) sa courbe representative dans le plan muni d’un repere orthonorme (O, i, j) d’unite 1 cm.
1. Soit g la fonction definie sur [0,+∞[ par g(x) = x/(x+1) – ln(x+1)
a) Etudier la variation de g. (0,5 pt)
b) En deduire le signe de g(x) pour tout x > 0. (0,25 pt)
2. Soit h la fonction definie sur [0,+∞[ par h(x) = ln(x+1) – x + (1/2)x2
a) Etudier la variation de h. (0,5 pt)
b) En deduire le signe de h(x) pour tout x ≥ 0. (0,25 pt)
c) Montrer que pour tout x ≥ 0, ln(x+1) – x + (1/2)x2 ≥ 0. (0,5 pt)
d) En deduire que pour tout x > 0 : (1/x) – (1/2) ≤ (ln(x+1) – x)/x2 ≤ (1/x) – (1/2) (0,5 pt)
e) Calculer lim(x→0+) (ln(x+1))/x (0,25 pt)
1) Soit φ la fonction definie sur [0, +∞[ par φ(x) = 1/f(x)
Montrer que les deux fonctions f et φ sont continues a droite en 0. (0,75 pt)
2)
a) Exprimer (f(x) – f(0))/(x-0) en fonction de x, φ(x) et φ(0). (0,5 pt)
b) En deduire que lim(x→0+) (f(x) – f(0))/(x-0) = 1/2. Que peut-on dire de f ? (0,75 pt)
3) Calculer la limite de f en +∞. (0,5 pt)
4) Montrer une relation entre f'(x) et φ(x) pour tout x > 0, ou f’ est la fonction derivee de f. (0,5 pt)
5) Dresser le tableau de variation de f. (0,5 pt)
6)
a- Etudier la branche infinie de la courbe (Cf) au voisinage de +∞. (0,5 pt)
b- Tracer la courbe (Cf) en precisant la demi-tangente au point d’abscisse x0 = 0 (1,25 pt)
1) Demontrer que, pour tout reel t ∈ [0;1], on a 1 – t ≤ 1/(1+t) ≤ 1. (0,5 pt)
2) En deduire que, pour tout x ∈ [0;1], on a : 1 ≤ f(x) ≤ 2/(2-x) (0,5 pt)
3) Montrer alors que 1 ≤ ∫01 f(x) dx ≤ 2 ln 2. (0,5 pt)