MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE
Direction de l’Enseignement Superieur Public et Prive
Session 2017 – Serie C
| Epreuve : MATHEMATIQUES | Coefficient : 5 |
| Duree : 4 heures | Code matiere : 009 |
N.B. : L’utilisation d’une calculatrice scientifique non programmable est autorisee. L’exercice et les deux problemes sont obligatoires.
1.
a) Montrer que pour tout entier naturel n et y, on a x.y = x + y + xy est la meme parite. (0,5 pt)
b) En deduire la resolution dans N de l’equation : x2 = y2 + 8 (0,5 pt)
2.
a) Resoudre dans N l’equation : 5x + 1 [mod 7] (0,25 pt)
b) En deduire une solution particuliere de l’equation : 5x – 3y = 1 (0,25 pt)
c) Resoudre dans N × N l’equation : 5x – 3y = 1 (0,5 pt)
Une urne contient 3 boules blanches et n boules noires (n ≥ 3). Toutes les boules sont indiscernables au toucher.
1. Un enfant tire simultanement deux boules de l’urne. On note par An l’evenement : « obtenir au moins une boule noire ».
a) Calculer la probabilite P(An) de An (0,5 pt)
b) Calculer lim P(An) (0,25 pt)
c) Pour quelles valeurs de n a-t-on P(An) ≥ 0,997 (0,5 pt)
2. On remet l’urne dans sa condition initiale. L’enfant tire au hasard une a une 3 boules en remettant dans l’urne chaque boule tiree apres chaque tirage. Soit B l’evenement «tirer 3 boules blanches».
a) Calculer la probabilite P(Bn) de Bn (0,5 pt)
b) Determiner la valeur de n pour que P(Bn) = 1/27 (0,25 pt)
Dans le plan oriente (P), on considere le triangle equilateral ABC tel que mes(BC, BA) = π/3 et AB = 4cm.
Soit J le projete orthogonal de A sur le segment [BC]. La droite parallele a la droite (AJ) et passant par le point C coupe la droite (AB) au point D. On note par D1 le symetrique de B par rapport au point C.
Soient r la translation de vecteur BC, r’ la rotation de centre A et d’angle π/3, s la rotation de centre B et d’angle -π/3
f = t ∘ r et g = s ∘ r
1.
a) Faites la figure et placer les points A, B, C, D, J et D1. (0,5 pt)
b) Decomposer f en deux symetries orthogonales dont l’un des axes est la droite (AJ) (0,5 pt)
c) Decomposer g en deux symetries orthogonales dont l’un des axes est la droite (AB) (0,5 pt)
d) Determiner la nature et les elements caracteristiques de f (0,5 pt)
e) Determiner g(B) (0,5 pt)
f) En deduire la nature et les elements caracteristiques de g. (0,5 pt)
4. On note par A’ = f(A), B’ = f(B) et C’ = f(C).
a) Placer les points A’, B’ et C’ sur la meme figure (0,25 pt)
Quelle est la nature du triangle A’ B’ C’ ? Justifier. (0,25 pt)
b) Montrer que D1 et B’ sont alignes. (0,25 pt)
Le plan (P) est rapporte a un repere orthonorme direct (B, u, v). Sachant que u = BJ/2 et v = JA/2
1.
a) Exprimer le vecteur BJ en fonction des deux vecteurs u et v. (0,5 pt)
b) Determiner les affixes des points A, B et C. (0,25 pt + 0,5 pt)
c) Ecrire les expressions complexes de s et t. (0,25 pt × 2)
d) En deduire les expressions complexes de f et g. (0,25 pt × 2)
e) Determiner leurs natures et leurs elements caracteristiques. (0,25 pt × 2)
Pour tout entier naturel n > 0, soit la fonction numerique fn de la variable reelle x definie sur R – {-1} par :
fn(x) = xn / (1 + x)
On note par (Cn) sa courbe representative dans un plan muni d’un repere orthonorme (O, i, j) d’unite 1cm.
1.
a) Calculer les limites de fn aux bornes de son ensemble de definition (on distinguera les cas ou n est pair ou impair) (1 pt)
b) Calculer la fonction derivee f’n(x) en fonction de n et x. (0,5 pt)
c) Dresser les tableaux de variations de fn selon la parite de n. (1 pt)
2. Montrer que toutes les courbes (Cn) passent par un point fixe de coordonnees que l’on precisera. (0,25 pt)
3. Calculer lim(x→+∞) fn(x)/xn-1 (distinguer les deux cas ou n est pair ou impair). (0,25 pt)
4.
a) Etudier suivant les valeurs de n la position relative des courbes (Cn) et (C1). (0,25 pt)
b) Tracer (C1) et (C2) dans le meme repere. (0,5 pt)
Pour tout entier naturel n > 0, soit In = ∫01 fn(x) dx
1. Donner l’expression de fn(x) en fonction de fn-1(x) et fn-1(x) (0,5 pt)
2.
a) Montrer que la suite (In) est decroissante. (0,5 pt)
b) En deduire que la suite (In) est convergente. (0,25 pt)
3. Demontrer que pour tout entier naturel n > 0 et 0 ≤ x ≤ 1, on a :
xn/2 ≤ fn(x) ≤ xn
(0,5 pt)
4. En deduire que pour tout x > 0, on a : 1/(2(n+1)) ≤ In ≤ 1/(n+1) (0,5 pt)
5. Calculer lim In (0,25 pt)
6.
a) En utilisant la question 1) de la Partie B, montrer que : In + an-1 = 1/n (0,5 pt)
b) En deduire lim an-1 (0,25 pt)
Soit (Un) la suite definie pour tout entier naturel n > 0 par : Un = ∫1n xn ln(x + 1) dx.
1) Etudier le signe de (xn – xn-1) sur l’intervalle [0,1]. (0,25 pt)
2) En deduire le sens de variation de (Un). (0,5 pt)
3) La suite (Un) est-elle convergente ? Justifier. (0,5 pt)
4) Demontrer que pour tout entier naturel n > 0, on a : 0 ≤ Un ≤ ln 2 / (n+1) (0,5 pt)
5) En deduire lim Un. (0,25 pt)