Mathématiques BAC Série C 2016 Madagascar – Sujet

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N.B. : L’utilisation d’une calculatrice scientifique non programmable est autorisée. L’exercice et les deux problèmes sont obligatoires.

EXERCICE (4 points)

I. Arithmétique

1° On considère l’équation à deux inconnues \((x, y)\) dans \(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\) suivante : \(3x - 8y = 1\) \((E)\).

a) Vérifier que \((3\,;\,1)\) est une solution de \((E)\). (0,5 pt)

b) Résoudre l’équation \((E)\). (0,5 pt)

2° \(a\), \(b\), \(c\) sont des entiers naturels non nuls. Un entier naturel non nul \(A\) s’écrit \(\overline{b0a}_5\) dans le système de numération à base cinq et \(\overline{abc}_7\) dans le système de numération à base sept. Démontrer que \(c = 6\) puis déterminer \(a\) et \(b\). (0,5 pt + 0,5 pt)

II. Probabilité

Le code confidentiel d’une carte bancaire est un nombre entier de quatre chiffres non nuls.

1) Combien y a-t-il de codes possibles ? (1 pt)

2) Le code d’une carte est choisi au hasard. Calculer les probabilités de chacun des événements suivants :

\(A\) : « Le code est un nombre pair ». (0,25 pt)

\(B\) : « Le code n’est composé que de chiffres pairs ». (0,25 pt)

\(C\) : « Le code contient une fois et une seule le chiffre 2 ». (0,25 pt)

\(D\) : « Le code est écrit avec des chiffres distincts ». (0,25 pt)

PROBLÈME 1 (7 points)

Les deux parties A et B sont indépendantes. On note \(S_{(\Delta)}\) la symétrie orthogonale d’axe \((\Delta)\), par \(t_{\vec{v}}\) la translation de vecteur \(\vec{v}\).

Partie A : Méthode géométrique

Dans le plan orienté \((P)\), on donne un carré direct \(ABCD\) de centre \(I\), avec \((\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}) = \dfrac{\pi}{2}\). On note par \(E\) le milieu de \([AB]\), \(F\) le milieu de \([AD]\) et par \(J\) le milieu de \([CD]\).

1° Soit \(G\) le barycentre du système des points pondérés \(\{(A\,;\,-1)\,;\,(B\,;\,1)\,;\,(D\,;\,1)\}\).

a) Démontrer que \(G\) appartient à la droite \((AI)\). (0,5 pt)

b) Déterminer et construire \(G\). (0,5 pt)

c) Soit \((\mathcal{C})\) l’ensemble des points \(M\) du plan vérifiant \(2MI^2 - MA^2 = 0\). Démontrer que \(B \in (\mathcal{C})\). (0,5 pt) Déterminer et construire \((\mathcal{C})\). (0,5 pt)

2° Soit \(\sigma\) la symétrie centrale de centre \(I\) et \(f = \sigma \circ S_{(EF)}\). En décomposant \(\sigma\) en produit de deux symétries orthogonales convenables, démontrer que \(f = S_{(AC)} \circ t_{\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}}\). (1,5 pt)

Partie B : Utilisation des nombres complexes

\(ABCD\) est toujours le carré de la partie A, de centre \(I\) ; \((\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}) = \dfrac{\pi}{2}\) ; le milieu de \([CD]\) est \(J\). Soit \(S\) une similitude directe qui transforme \(A\) en \(I\) et \(B\) en \(J\). \((\Gamma_1)\) est un cercle de diamètre \([AI]\) et \((\Gamma_2)\), un cercle de diamètre \([BJ]\). On donne le repère orthonormé direct \((A\,;\,\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AD})\).

1) Donner les affixes des points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(I\) et \(J\). (0,5 pt)

2) Écrire l’expression complexe de \(S\). En déduire ses éléments caractéristiques. (0,5 pt + 0,25 pt)

3) a) Préciser les centres et les rayons des cercles \((\Gamma_1)\) et \((\Gamma_2)\). (0,5 pt × 2)

b) Démontrer que le centre \(\Omega\) de \(S\) est un point d’intersection de \((\Gamma_1)\) et \((\Gamma_2)\). (0,25 pt + 0,25 pt)

4) a) Déterminer le point \(C'\), image de \(C\) par \(S\), puis le point \(K\), image de \(I\) par \(S\). (0,25 pt + 0,25 pt)

b) Démontrer que les points \(A\), \(\Omega\), \(K\) sont alignés. (0,25 pt)

PROBLÈME 2 (9 points)

Soit \(f\) une fonction numérique définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x) = (x-1)\ln(1-x)\) si \(x < 0\), et \(f(x) = e^{\frac{x}{2}} - x - 1\) si \(x \geq 0\). On désigne par \((\mathcal{C})\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthonormé d’unité 2 cm.

A.

1° Étudier la continuité et la dérivabilité de \(f\) en \(x_0 = 0\). (0,25 pt + 0,75 pt)

2° a) Calculer les limites de \(f\) en \(-\infty\) et en \(+\infty\). (0,25 pt × 2)

b) Étudier les variations de \(f\). (1 pt)

c) Démontrer que l’équation \(f(x) = 0\) admet une solution unique \(\alpha \in [2, 3]\). (0,25 pt)

3° Tracer \((\mathcal{C})\) (on précisera les branches infinies et les demi-tangentes à l’origine du repère). (1,25 pt)

B. On se propose de trouver une valeur approchée de la solution \(\alpha\) de l’équation \(f(x) = 0\) de la partie A. On considère une fonction \(g\) définie sur \(\left]-1\,;\,+\infty\right[\) par : \(g(x) = 2\ln(x+1)\).

1- Étudier les variations de \(g\). (0,5 pt)

2- Démontrer que \(\alpha\) est une solution de l’équation : \(g(x) = x\). (1 pt)

3- Démontrer que pour tout \(x \in \left[2, +\infty\right[\), \(g(x) \in \left[2, +\infty\right[\). (0,5 pt)

4- On définit une suite \((U_n)_{n \in \mathbb{N}}\) par : \(U_0 = 3\) ; \(U_{n+1} = g(U_n)\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

a) Démontrer, par récurrence, que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(U_n \geq 2\). (0,5 pt)

b) Prouver que pour tout \(x \in \left[2, +\infty\right[\), \(|g'(x)| \leq \dfrac{2}{3}\). (0,25 pt)

c) Démontrer, en utilisant les inégalités des accroissements finis, que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(|U_{n+1} - \alpha| \leq \dfrac{2}{3}|U_n - \alpha|\) ; en déduire que pour tout \(n \in \mathbb{N}\) : \(|U_n - \alpha| \leq \left(\dfrac{2}{3}\right)^n\). (0,25 pt + 0,5 pt)

d) Démontrer que la suite \((U_n)\) converge vers \(\alpha\). Déterminer le plus petit entier naturel \(n_0\) tel que \(U_{n_0}\) soit une valeur approchée de \(\alpha\) à \(10^{-1}\) près. (0,25 pt + 0,25 pt)

C. Soit l’équation différentielle \((E) : 2y' - y = x - 1\).

1) Démontrer que \(f(x) = e^{\frac{x}{2}} - x - 1\) est une solution de \((E)\). (0,5 pt)

2) En déduire la solution générale de l’équation \((E)\). (0,25 pt + 0,25 pt)

On donne : \(\ln 2 \approx 0{,}7\) ; \(\ln 3 \approx 1{,}1\) ; \(\ln 10 \approx 2{,}3\) ; \(e \approx 2{,}7\) et \(e^{\frac{3}{2}} \approx 4{,}5\).