MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE
Direction de l’Enseignement Superieur Public et Prive
Session 2016 – Serie C
| Epreuve : MATHEMATIQUES | Coefficient : 5 |
| Duree : 4 heures | Code matiere : 009 |
N.B. : L’utilisation d’une calculatrice scientifique non programmable est autorisee. L’exercice et les deux problemes sont obligatoires.
I.
1. On considere l’equation a deux inconnues (x, y) dans Z × Z suivante :
3x – 8y = 1 (E)
a) Verifier que (3, 1) est une solution de (E). (0,5 pt)
b) Resoudre l’equation (E). (0,5 pt)
2. a, b, c sont des entiers naturels non nuls. Un entier naturel non nul A s’ecrit (b+4a)c dans le systeme de numeration a base c et (2c)3 dans le systeme de numeration a base sept.
Demontrer que c = 6 puis determiner a et b. (0,5 pt + 0,5 pt)
II.
Le code confidentiel d’une carte bancaire est un nombre entier de quatre chiffres non nuls.
1. Combien y-a-t-il de code possibles ? (1 pt)
2. Le code d’une carte est choisi au hasard. Calculer les probabilites de chacun des evenements suivants :
A : « Le code est un nombre pair » (0,25 pt)
B : « Le code est compose que de chiffres pairs » (0,25 pt)
C : « Le code contient une fois et une seule le chiffre 2 » (0,25 pt)
D : « Le code est ecrit avec des chiffres distincts » (0,25 pt)
Les deux parties A et B sont independantes. On note SD1 la symetrie orthogonale d’axe (d1), par ta la translation de vecteur a.
Dans le plan oriente (P), on donne un carre direct ABCD de centre I,
avec (AB, AD) = π/2
On note par E le milieu de [AB], et F le milieu de [AD] et par J, le milieu de [EF].
Soit G et H le barycentre du systeme des points ponderes {(A, -1), (B, 2), (I, D; 1)}
1.
a) Determiner puis construire l’ensemble (E1) tel que le point M appartient a la droite (AD) (0,5 pt)
b) Determiner et construire G (0,5 pt)
c) Soit f l’ensemble des points M du plan verifiant :
2MF – MA = 0
(0,5 pt)
2.
Determiner (B + I) et (C’).
Determiner et construire (F’). (0,5 pt)
2′) Soit r et la symetrie centrale de centre I et soit F = SD1 ∘ SD2.
En decomposant r en produit de deux symetries orthogonales convenables, demontrer que :
f = SD(BC) ∘ tAC
ABCD est toujours le carre de la partie A, de centre I ; (AB, AD) = π/2 ; le milieu de [CD] est J.
Soit S une similitude directe qui transforme A en I et B en J (f = d ∪ f) ; un cercle de diametre [AI] et (C2) un cercle de diametre [IB].
On donne le repere orthonorme direct (A ; AB, AD)
1) Donner les affixes des points A, B, C, D, I et J. (0,5 pt + 0,25 pt)
2) Ecrire l’expression complexe de S. En deduire ses elements caracteristiques. (0,5 pt + 0,25 pt)
3)
a) Preciser les centres et les rayons des cercles (C1) et (C2). (0,5 pt + 0,25 pt)
b) Determiner que le centre E de S est un point d’intersection de (C1) et (C2). (0,25 pt + 0,25 pt)
c) Determiner le point C’; image de C par S puis le point K, image de J par S. (0,25 pt + 0,25 pt)
4) Demontrer que les points A, G, K sont alignes. (0,5 pt)
Soit g une fonction numerique definie sur R par :
g(x) = (x-1)ln(1-x) si x < 0
g(x) = 0 si x = 0
g(x) = (x-1)ln(x+1) si x > 0
On designe par (C’) sa courbe representative de g dans un repere orthonorme d’unite 2 cm.
1°) Etudier la continuite et la derivabilite de g en x0 = 0. (0,25 pt×2)
2°)
a) Calculer les limites de g en -∞ et en +∞. (0,25 pt)
b) Etudier les variations de g. (0,75 pt)
3°)
a) Demontrer que l’equation g(x) = 0 admet une solution unique α ∈ [2, 3]. (0,25 pt)
b) Tracer (C’) en precisant les branches infinies et les demi-tangentes a l’origine du repere. (1,25 pt)
4°) On se propose de trouver une valeur approchee de la solution α de l’equation g(x) = 0 de la partie A.
On considere une fonction h definie sur [1, +∞[ par : g(x) = 2(x + 1)
1- Etudier les variations de h. (1 pt)
2- Demontrer que α est une solution de l’equation : g(x) = x. (0,5 pt)
3- Demontrer que pour tout x ∈ [2, α], g(x) ∈ [2, α]. (0,25 pt)
4- On definit une suite (Un) par :
U0 = 2
Un+1 = g(Un) pour tout n ∈ N
a- Demontrer, par recurrence, que pour tout n ∈ N, Un ≤ 2 (0,25 pt)
b- Prouver que pour tout x ∈ [2, α] : |g'(x)| ≤ 1/2 (0,25 pt)
c- Demontrer, en utilisant les inegalites des accroissements finis, que pour tout n ∈ N,
|Un – α| ≤ (1/2)n |U0 – α|
(0,25 pt)
En deduire que pour tout n ∈ N : |Un – α| ≤ (1/2)n-1
(0,25 pt)
d- Demontrer que la suite (Un) converge vers α. Determiner le plus petit entier naturel n0 tel que Un0 soit une valeur approchee de α a 10-3 pres. (0,25 pt + 0,25 pt)
5°) Soit l’equation differentielle (E) : 2y’ + y = x + 1
1) Demontrer que g(x) = x – 1 est une solution de (E). (0,5 pt)
2) En deduire la solution generale de l’equation (E). (0,25 pt + 0,25 pt)
On donne : ln 2 ≈ 0,7 ; ln 3 ≈ 1,1 ; ln 10 ≈ 2,3 ; e ≈ 2,7 et e2 ≈ 4,5