Mathématiques BAC Série C 2015 Madagascar – Sujet

N.B. : L’utilisation d’une calculatrice scientifique non programmable est autorisee. L’exercice et les deux problemes sont obligatoires.

EXERCICE (4 points)

I.

1) Resoudre dans Z × Z l’equation : 6x + z = -5 (0,5 pt)

2) Soient a et b deux entiers relatifs premiers entre eux.

Demontrer que A = 5a + 3b et B = 8a + 5b sont aussi premiers entre eux. (0,5 pt)

3) Soit x ∈ N.

Dans un systeme de numeration a base 13, un entier naturel M s’ecrit M = (25×3)₁₃

a) Justifier que : M ≡ x + 2 [4] (0,5 pt)

b) Pour quelles valeurs de x, M est-il divisible par 4 ? (0,5 pt)

II.

1) On lance une fois un de tetraedrique parfait a quatre faces numerotees 2, 3, 4, 5 et on s’interesse au numero de la face cachee.

Calculer la probabilite de chacun des evenements suivants :

A : « La face cachee porte un numero inferieur ou egal a 4 » (0,5 pt)

B : « La somme des numeros des faces visibles est un nombre premier » (0,5 pt)

2) On lance maintenant n fois de suite (n ≥ 2) le de et on note P_n la probabilite de realiser au moins une fois l’evenement « la face cachee porte un numero inferieur ou egal a 4 » au cours de ces n lancers.

a) Calculer P_n (0,5 pt)

b) Donner le plus petit entier n pour que P_n ≥ 0,99. (0,5 pt)

PROBLEME 1 (7 points)

ABCDEF est un hexagone regulier de centre O, de cote a > 0 dans un plan oriente (P). Cet hexagone est direct donc : (AB, AF) = 2π/3. On note par I le milieu du segment [AF].

PARTIE A

Soit S un systeme de trois points ponderes (A; 1); (B; -1); (D; 1)

1) Determiner et construire le barycentre G de S. (0,5 pt)

2)

a) Determiner et construire l’ensemble (T) des points M du plan (P) qui verifient : MA² – MB² + MD² = a² (0,5 pt)

b) Verifier que (T) passe par le centre de l’hexagone. (0,25 pt)

PARTIE B

Soit R_O la rotation de centre O, d’angle π/3 et R_A la rotation de centre A, d’angle 2π/3.

Dans cette partie, on se propose de caracteriser la transformation f = R_A ∘ R_O en utilisant deux methodes differentes.

1^ere methode

a) Justifier que f est une symetrie centrale. (0,5 pt)

b) Determiner l’image de A par f, puis en deduire le centre de f. (0,75 pt)

2^eme methode

Le plan complexe est rapporte a un repere orthonorme direct (O, u, v) ou u = OA.

a) Donner les affixes des points A, F et I milieu de (AF) (0,75 pt)

b) Ecrire les expressions complexes de R_A, R_O et en deduire celle de f. (0,5 pt)

c) Determiner la nature et les elements caracteristiques de f. (0,5 pt)

PARTIE C

1) Soit l’application g = R_O ∘ R_O.

a) Determiner g(A). (0,25 pt)

b) Determiner l’ecriture complexe de g. (0,25 pt)

c) En deduire les affixes des points C et E. (0,25 pt)

2) Soit S la similitude plane indirecte qui transforme O en C et A en E.

Donner l’ecriture complexe de S. (0,5 pt)

En deduire les elements caracteristiques de S. (0,75 pt)

PROBLEME 2 (9 points)

Les parties A et B sont independantes.

PARTIE A

On considere l’equation differentielle :

(E) : y” + 2y’ – 3y = P(x) ou P est un polynome.

1) Trouver le polynome P pour que la fonction g definie par : x ↦ e^x + x + 1 soit une solution de (E). (0,25 pt)

2) Resoudre l’equation differentielle (E’) : y” + 2y’ – 3y = 0.

Donner l’ensemble des solutions de (E) que l’on note par h. En deduire la solution de (E) qui satisfait aux conditions h(0) = -1 et h'(0) = 5. (0,5 pt)

PARTIE B

Soit f une fonction definie sur [0; +∞[ par :

f(x) = x.ln x / (x + 1) si x > 0
f(0) = 0

On note par (C_f) sa courbe representative dans un repere orthonormal direct (O, i, j) d’unite 4 cm.

1- Etudier la continuite et la derivabilite de f en O. (0,5 pt)

2- Soit φ la fonction definie sur ]0; +∞[ par :

φ(x) = -ln x – x – 1.

a) Etudier les variations de φ. (0,25 pt)

b) Etablir que l’equation φ(x) = 0 admet une solution unique β et verifier que : β ∈ [0,27; 0,28]. (On ne demande pas de construire la courbe de φ.) (0,5 pt)

En deduire le signe de φ(x) suivant les valeurs de x et montrer que f(β) = -β (1 pt)

3- Pour tout x > 0, exprimer f'(x) en fonction de φ(x) ou f’ est la derivee de la fonction f.

En deduire les variations de f. (0,75 pt)

4-

a) Etudier la position relative de (C_f) par rapport a la courbe (T) de la fonction x ↦ ln x sur [0; +∞[. (0,5 pt)

b) Construire dans un meme repere les courbes (C_f) et (T). (1 pt)

On donne : ln(0,27) ≈ -1,3 ; ln(0,28) ≈ -1,2

II – Suite et fonction

On se propose d’etudier l’equation f(x) = n ou n est un entier naturel non nul.

1) Montrer que, pour tout n, cette equation admet une solution unique notee α_n. (0,5 pt)

2)

a) Etablir que f(eⁿ) ≤ n. En deduire que α_n ≥ eⁿ. (0,5 pt)

b) Prouver que la relation f(α_n) = n peut s’ecrire sous la forme h(α_n/eⁿ) = n/α_n … (1)

En deduire, a l’aide de a), la limite de α_n/eⁿ lorsque n tend vers l’infini. (0,75 pt)

3) On ecrit α_n sous la forme : α_n = eⁿ(1 + ε_n) ou ε_n ≥ 0 … (2).

A l’aide de (1), exprimer (1 + ε_n) ln(1 + ε_n) en fonction de n. (0,25 pt)

4) Soient U et V deux fonctions definies sur [0; +∞[ par :

U(t) = (1 + t) ln(1 + t) – t et V(t) = (1 + t) ln(1 + t) – t – t²/2

a) Etudier les variations de U et V, puis en deduire que pour tout t ≥ 0, on a :

0 ≤ (1 + t) ln(1 + t) – t ≤ t²/2

(0,75 pt)

b) En utilisant 4)a) et 3), en deduire que pour tout n ≥ 1 : ε_n ≤ ne^-n ≤ ε_n + ε_n²/2, puis

0 ≤ ne^-n – ε_n ≤ n²/(2e²ⁿ) … (3)

(0,75 pt)

c) A l’aide de (2) et (3), determiner lim(n→+∞) (eⁿ + n – α_n). (0,5 pt)