Mathématiques BAC Série C 2014 Madagascar – Sujet

N.B. : L’utilisation d’une calculatrice scientifique non programmable est autorisee. L’exercice et les deux problemes sont obligatoires.

EXERCICE (4 points)

Partie A – Probabilite

Une cible de tir est constituee de 3 cercles concentriques C₁, C₂, C₃ de rayons respectifs r, 2r et 3r. Les zones colorees en jaune, rouge et noir portent respectivement 10 points, 5 points et 1 point.

Un joueur lance une flechette vers la cible. On suppose qu’il touche toujours la cible et qu’il a autant de chances de toucher n’importe quel point de la cible.

1. Montrer que la probabilite de toucher la zone jaune est 1/9. (0,5 pt)

2. Calculer la probabilite de toucher la zone rouge. (0,5 pt)

3. Calculer la probabilite de toucher la zone noire. (0,5 pt)

4. Soit X la variable aleatoire qui associe a chaque lancer le nombre de points obtenus.

a) Donner la loi de probabilite de X. (0,25 pt)

b) Calculer l’esperance mathematique E(X). (0,25 pt)

Partie B – Arithmetique

1. Resoudre dans Z l’equation : 7x – 5y = 1 (0,5 pt)

2. En deduire la resolution dans Z de l’equation : 7x – 5y = 3 (0,5 pt)

3. Dans un systeme de numeration de base b (b ≥ 7), un nombre N s’ecrit 352.

a) Exprimer N en fonction de b. (0,25 pt)

b) Determiner b sachant que N = 128. (0,25 pt)

PROBLEME 1 (7 points)

Dans un plan oriente (P), on considere un triangle ABC equilateral de sens direct de cote a (a > 0) avec (AB, AC) = π/3.

Soit I le milieu de [BC], J le milieu de [AC] et K le milieu de [AB].

On designe par r la rotation de centre A et d’angle π/3, et par s la rotation de centre B et d’angle -π/3.

Partie A

1.

a) Construire la figure. (0,25 pt)

b) Determiner r(B), r(K), r(I). (0,5 pt)

c) Determiner s(A), s(K), s(I). (0,5 pt)

2. Soit f = r o s.

a) Justifier que f est une rotation. (0,25 pt)

b) Preciser l’angle de f. (0,25 pt)

c) Determiner f(B). En deduire le centre de f. (0,5 pt)

3. Soit g = s o r.

a) Determiner g(A). (0,25 pt)

b) Preciser la nature et les elements caracteristiques de g. (0,5 pt)

Partie B

Le plan (P) est rapporte a un repere orthonorme direct (A; u, v) ou u = AB/a.

1. Donner les affixes des points A, B, C, I, J, K. (0,75 pt)

2. Ecrire les expressions complexes de r et s. (0,5 pt)

3. En deduire les expressions complexes de f et g. (0,5 pt)

4. Verifier les resultats de la partie A. (0,5 pt)

5. Soit S la similitude directe qui transforme A en I et B en J.

a) Donner l’ecriture complexe de S. (0,5 pt)

b) Determiner les elements caracteristiques de S (rapport, angle, centre). (0,75 pt)

PROBLEME 2 (9 points)

Soit f la fonction numerique definie sur R par :

f(x) = (x – 1)e^x + 1

On note (C_f) sa courbe representative dans un repere orthonorme (O, i, j) d’unite 2 cm.

Partie A – Etude de la fonction f

1. Calculer les limites de f en -∞ et en +∞. (0,5 pt)

2.

a) Calculer f'(x). (0,25 pt)

b) Etudier le signe de f'(x) et dresser le tableau de variation de f. (0,5 pt)

3.

a) Montrer que la droite (D) d’equation y = 1 est asymptote a (C_f). (0,25 pt)

b) Etudier la position de (C_f) par rapport a (D). (0,25 pt)

4. Etudier la branche infinie de (C_f) au voisinage de +∞. (0,5 pt)

5. Tracer (C_f). (1 pt)

Partie B – Calcul d’aire

Soit (D’) la droite d’equation y = x.

1. Montrer que (D’) est tangente a (C_f) en un point A dont on precisera les coordonnees. (0,5 pt)

2. Soit g la fonction definie sur R par g(x) = f(x) – x.

a) Etudier le signe de g(x). (0,5 pt)

b) En deduire la position de (C_f) par rapport a (D’). (0,25 pt)

3. Calculer l’aire de la region delimitee par (C_f), (D’), et les droites d’equations x = 0 et x = 1. (0,75 pt)

Partie C – Equation differentielle

On considere l’equation differentielle :

(E) : y’ – y = (x – 2)e^x

1. Resoudre l’equation differentielle homogene (E₀) : y’ – y = 0. (0,25 pt)

2. Verifier que f est une solution particuliere de (E). (0,5 pt)

3. En deduire l’ensemble des solutions de (E). (0,5 pt)

4. Determiner la solution h de (E) verifiant h(0) = 2. (0,5 pt)

Partie D – Suite et integrale

Pour tout entier naturel n ≥ 1, on pose :

I_n = ∫₀¹ xⁿ e^x dx

1. Calculer I₁. (0,5 pt)

2. Demontrer que pour tout n ≥ 1 : I_n+1 = e – (n+1)I_n. (0,5 pt)

3. Montrer que pour tout n ≥ 1 : 0 ≤ I_n ≤ e/(n+1). (0,5 pt)

4. En deduire lim I_n. (0,25 pt)