Mathématiques BAC Série C 2013 Madagascar – Sujet

N.B. : L’exercice et les deux problemes sont obligatoires. Machine a calculer scientifique non programmable autorisee. Papiers millimetres autorises.

EXERCICE (4 points)

Arithmetique

1. Un nombre A vaut 121 en base 4 et 221 en base n, n ∈ N*. Determiner n. (0,25 pt)

2. Prouver que, pour tout entier naturel n, 2ⁿ ≡ 9ⁿ + 0 [11] (0,5 pt)

3. Retrouver dans N × N le systeme :

PGCD(a, b) = 6 et PPCM(a, b) = 240

(0,75 pt)

Probabilite

n ∈ N*. On dispose de n boules numerotees de 1 a n. On veut placer ces boules dans n boites numerotees de 1 a n : chaque boite pouvant contenir de 0 a n boules.

1. Pour n = 4, calculer la probabilite de chacun des evenements suivants :

E : « Chaque boite contient une boule » (0,25 pt)

F : « Chaque boite contient une boule de telle sorte que la boite et la boule ont le meme numero » (0,25 pt)

G : « La boite numerotee 1 contient exactement deux boules » (0,25 pt)

2. Pour n ≥ 2, on designe par P_n(k) la probabilite pour que la boite numerotee 1 contienne exactement k boules, k ∈ {0, 1, 2, …, n}.

a) Demontrer que, pour tout n :

P_n(k) = C_n^k × (1/n)^k × ((n-1)/n)^n-k

(1 pt)

b) En deduire que :

Σ_k=0ⁿ C_n^k × (n-1)^n-k = nⁿ

(0,75 pt)

PROBLEME 1 (7 points)

NB : Les parties A et B sont independantes.

Partie A

Dans le plan complexe (P), on considere le carre direct ABCD de centre I. Quels que soient les points M et N du plan, on note par :

• r_M : la rotation de centre M et d’angle π/2
• t_MN : la translation de vecteur MN
• r_Δ : la reflexion d’axe (MN)

On pose : f = f₁ ο f₂ ou : f₁ = r_A et f₂ = r_B avec u = AB et v = AD.

1°) En decomposant r_A et r_B, determiner la nature et les elements geometriques de r_A ο r_B. (0,5 pt)

2°) Le plan (P) est rapporte au repere orthonorme R = (A, u, v) ou u = AB et v = AD.

a) Determiner la forme algebrique de z = (z_A – z_B)/(z_A – z_I) (0,25 pt)

b) En deduire l’angle et le rapport de la similitude plane directe de centre C qui transforme B en A. (0,5 pt)

3°) Soit f_i :

A) Demontrer que f est un antideplacement. (0,75 pt)

B) En decomposant convenablement f_i, preciser la nature et les elements caracteristiques de f. (0,75 pt)

C) En deduire l’expression complexe de f. (1 pt)

Partie B

1°) E est donne un nombre reel ρ.

Resoudre dans C l’equation a variable t : t² – 2ρ cos θ + 1 = 0.

En deduire les solutions dans C de l’equation a variable complexe z :

z(z̄) + z̄² – 2ρ cos θ + 1 = 0

(1 pt)

2°) On designe par A, B, C et D les images des solutions de l’equation telles que :

Re(z_A) < … avec z_A = -z_B = r₁e^iα, z_C = -z_D = r₂e^iβ ou z_A, z_B, z_C et z_D sont les affixes respectives des points A, B, C et D.

a) Placer les points A, B, C et D sur le cercle trigonometrique d’unite 5 cm. (0,5 pt)

b) Pour quelle valeur de ρ les points A, B, C et D sont-ils les sommets d’un carre ? (0,5 pt)

3°) A₁, B₁, C₁ et D₁ sont les sommets du rectangle defini dans la question 2° et tel qu’un reel x₁ ∈ R*.

On definit G₁ le barycentre du systeme des points ponderes {(A₁, ε^π), (D₁, 1), (I₁, -ε^-π)}.

a) Exprimer A₁B₁ en fonction de BD. (0,5 pt)

b) On pose (E) = {M ∈ P / |2MA₁ + MB₁ – MC₁|² = |MA₁ + 2M·(x₁·D₁A₁·AB)|²}

Determiner et construire (E). (1 pt)

PROBLEME 2 (9 points)

Soit f la fonction definie sur l’intervalle par :

f(x) = x² – 1 – 2 ln x    si x < 1
f(x) = e^-x × x²    si x ≥ 1

On note par (C) sa courbe dans un repere orthonorme d’unite graphique 4 cm.

Partie A

1°)

a) Demontrer que f est continue au point d’abscisse 1. (0,5 pt)

b) Etudier la derivabilite de f au point d’abscisse 1. (0,75 pt)

2°)

a) et b) Etudier, suivant les valeurs de x, le sens de variation de f. (0,75 pt)

b) Dresser alors le tableau de variation de f. (0,75 pt)

3°)

a) Demontrer que f admet un unique point d’inflexion I que l’on precisera. (1 pt)

b) Determiner l’equation de la tangente (T) a (C) au point I. (0,5 pt)

c) Tracer (T) et (C) dans le meme repere en precisant les demi-tangentes au point d’abscisse 1. (0,5 pt)

Partie B

Pour tout reel λ, tel que 0 < λ < 1, on pose I(λ) = ∫_λ¹ f(t) dt.

Quels que soient les entiers n et k tels que : n ≥ 2 et 1 ≤ k ≤ n – 1, on pose :

S_n = (k/nⁿ) Σ (k^k/k!)

1°)

a) A l’aide d’une integration par parties, determiner I(λ) en fonction de λ. (0,5 pt)

b) Calculer alors lim I(λ) quand λ → 0. (0,25 pt)

2°)

a) Demontrer que :

(k/nⁿ) (k^k/k!) ≤ ∫_k/n^(k+1)/n f(t) dt ≤ (1/(n-1)!) × (k+1)^k+1/k!

(1 pt)

b) En deduire que :

(k/nⁿ) × (n-1) ≤ S_n ≤ Σ f(k/n) × (1/n)

(0,5 pt)

c) Demontrer alors que :

(1/2) ≤ S_n ≤ (1/2) + (1/n) – (1/n²)

(0,75 pt)

4) Determiner lim n × f(1/n). (0,25 pt)

5) Calculer alors lim S_n. (0,5 pt)

NB : Pour la construction, on prend e^-1 ≈ 0,4 ; e^-2 ≈ 0,2 et e^-3 ≈ 0,05.