Session 2002 — Série C
EXERCICE 2 ( 4 points )
1°- a) – Résoudre dans x l’équation 11x – 8y = 1. (0,50 pt)
b) – Calculer PGCD (319, 232, 145) puis résoudre dans x l’équation 319x – 232y = 145.
(1,00 pt)
2° – Une urne contient 81 boules indiscernables au toucher, numérotées de 1 à 81. L’épreuve E consiste
à tirer au hasard et successivement deux boules de l’urne, sans remettre dans l’urne la boule tirée.
a) – Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
A : « Tirer deux boules portant deux numéros pairs ». (0,50 pt)
B : « Tirer deux boules portant deux numéros multiples de 3 ». (0,50 pt)
C : « Tirer deux boules portant deux numéros qui sont des nombres premiers ». (0,50 pt)
3° Le plan ( P ) est rapporté à un repère orthonormé. On donne les deux droites (D )
1
d’équation 11x – 8y – 1 = 0 et (D ) d’équation 319x – 232y – 145 = 0. (On ne demande pas
2
de construire ces deux droites). A l’épreuve E décrit précédemment, on associe le point
M(x, y) du plan où x est le numéro porté par la première boule tirée et y par la seconde.
Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
D : « Le point M appartient à la droite (D ) ». (0,50 pt)
1
E : « Le point M n’appartient pas à la droite (D ) ». (0,50 pt)
2
PROBLEME ( 12 points )
x 1
1 si x 0
On considère la fonction numérique f définie par : f(x) lnIxI
2 x
(x 1) e si x 0
On note ( C ) la courbe représentative de f dans un plan rapporté à un repère orthonormé
(O;i,j) d’unité 1 cm.
Partie A
1° – Etudier la continuité et la dérivabilité de f en O. (0,25+0,5pt)
2° – On considère la fonction g définie sur ] – ; 0 [ par g(x) = 1 – x + x ln |x|.
a) – Etudier les variations de g. (0,75 pt)
b) – Montrer qu’il existe un réel unique ] – 4 ; – 3 [ tel que g( ) = 0. (0,25 pt)
c) – En déduire le signe de g(x) suivant les valeurs de x. (0,25 pt)
3° – a) – Montrer que pour tout x 0, x – 1, f’(x) a le même signe que – g(x). (0,50 pt)
b – Vérifier que f’( ) = 0 et que f( ) = 1 + où est défini dans 2°/b). (0,25 pt)
c – Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation. (1,25 pt)
4° – a) – Etudier les branches infinies de ( C ). (0,50 pt)
1
b) – Calculer à 10 – 1 près : f(– 8), f(– 6), f(–2) et f(– ). (0,50 pt)
2
c) – Prendre = – 3,6 et construire la courbe ( C ). (0,50 pt)
On donne : ln 2 ≈ 0,7 ; ln 6 ≈ 1,8 ; e ≈ 2,7.
Partie B
1° – On considère l’équation différentielle (E) : y’’ – y’ – 2y = e – x (– 6x – 4 ).
a) – Vérifier que la fonction définie sur par (x) = e – x (x2 + 2x) est solution de (E). (0,50 pt)
b) – Montrer qu’une fonction numérique f est solution de (E) si et seulement si f– est
solution de l’équation différentielle ( E’ ) :y’’ – y’ – 2 y = 0. (0,25 pt)
c) – Résoudre (E’) et en déduire toutes les solutions de (E). (0,50 pt)
d) – Déterminer l’unique solution f de (E) telle que f(0) =1 et f’(0) = 1. (0,50 pt)
2 x
2° – On pose I = (x 1) e dx où > 0.
o
a) – Par deux intégrations par parties successives, exprimer I en fonction de . Calculer lim I .
(1,25+0,25pt)
b) – En déduire, en cm2, l’aire du domaine plan ( D) ensemble des points M(x,y) tels que x 0 et
0 y f(x). (0,25 pt)
Partie C
On se propose d’étudier la convergence de la suite (U ) définie par :
n n *
1 2 n
n IN*, Un 1
3
(1 n) 2 e n (2 n) 2 e n … (n n) 2 e n .
n
1n1 k 1 1n1 k e 4
1° – Vérifier que f = U et f = U + ( f étant définie dans la partie A], x 0).
n n
n n n n ne
k 0 k 0
(1,00 pt)
k k 1
2° a) –Soit n IN* et k un entier tel que 0 k n – 1. Vérifier que , 0,1 . (0,25 pt)
n n
k 1
1 k n 1 k 1
b) – En utilisant le sens de variation de f sur [0 , 1], montrer que : f f(t)dt f .
n n k n n
n
(0,50 pt)
e 4 1 4 e
c) – En déduire que U f(t)dt u et que I U I + . (0,5+0,25 pt)
n n 1 n 1
ne 0 ne
d) – Montrer que (U ) est convergente et donner sa limite. (0,50 pt)
n n IN*