MINISTÈRE DE L’ENSEIGNEMENT SUPÉRIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE
Direction Générale de l’Enseignement Supérieur Public et Privé — Service d’Appui au Baccalauréat
Session 2001 — Série C
| Épreuve : MATHÉMATIQUES | Coefficient : 5 |
| Durée : 4 heures | Code matière : 009 |
N.B. : Les DEUX Exercices et le Problème sont obligatoires.
Dans le plan orienté \((\mathcal{P})\), on considère un triangle \(ABC\) isocèle et rectangle en \(A\) tel que \(AB = AC\) et \(\text{mes}(\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AC}) = \dfrac{\pi}{2}\).
1. Dans cette question, le plan \((\mathcal{P})\) est rapporté au repère orthonormé direct \((A,\,\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AC})\).
a) Déterminer les affixes respectives \(z_A\), \(z_B\), \(z_C\) des points \(A\), \(B\), \(C\).
b) Soit \(T\) la transformation ponctuelle du plan \((\mathcal{P})\) vers \((\mathcal{P})\) qui à tout point \(M\) d’affixe \(z\) associe le point \(M’\) d’affixe \(z’\) telle que \(z’ = -z + 2i\). Caractériser géométriquement \(T\).
c) Donner l’expression complexe de la rotation \(R\) de centre \(A\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{2}\).
d) On pose \(f = T \circ R\). Donner l’expression complexe de \(f\). En déduire la nature et les éléments géométriques de \(f\).
e) On note \(I\) le centre de \(f\) ; donner la nature du quadrilatère \(ABIC\). Justifier votre réponse.
Dans toute la suite, on utilisera une méthode géométrique. On pose \(AB = AC = a\) où \(a \in \mathbb{R}^*_+\).
2. Soit \(S\) la similitude plane directe de centre \(I\) qui transforme \(A\) en \(B\). On note \(C’ = S(C)\) ; \(O’ = S(O)\) où \(O\) est le milieu du segment \([BC]\).
a) Donner le rapport et l’angle de \(S\).
b) Montrer que \(C’ \in [IA]\).
c) Donner l’image par \(S\) du segment \([IA]\) et montrer que \(O’\) est le milieu du segment \([IB]\).
3. On considère le système de points pondérés \(\{(A\,;\,-1),\,(B\,;\,1),\,(C\,;\,1)\}\).
a) Quel est le barycentre \(G\) de ce système ?
b) Déterminer et construire l’ensemble \((\Gamma)\) des points \(M\) du plan tels que \(-MA^2 + MB^2 + MC^2 = a^2\).
1. On considère deux dés cubiques parfaitement équilibrés \(D_1\) et \(D_2\) tels que :
— \(D_1\) porte sur ses six faces les chiffres 1, 1, 2, 3, 3, 4.
— \(D_2\) porte sur ses six faces les chiffres 1, 2, 3, 4, 5, 6.
On lance simultanément ces deux dés. On note \(a\) le chiffre lu sur \(D_1\) et \(b\) le chiffre lu sur \(D_2\). Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
\(A\) : « obtenir un couple \((a,\,b)\) tel que \(a = b\) »
\(B\) : « obtenir un couple \((a,\,b)\) de nombres impairs ».
2. On prend le dé \(D_2\) dont les six faces sont numérotées de 1 à 6. On lance une fois ce dé. À chaque entier \(n\) obtenu (\(1 \leq n \leq 6\)), on associe le couple d’entiers \((a,\,b)\) tels que \(a = 5n + 3\) et \(b = 3n + 1\).
a) Pour \(n \in \{1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6\}\), donner le couple \((a,\,b)\) correspondant ainsi que leur plus grand commun diviseur \(d\) (\(d = \text{PGCD}(a,\,b)\)).
b) Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
\(C\) : « \(a\) et \(b\) sont des nombres premiers »
\(D\) : « \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux ».
3. Résoudre l’équation \(13x – 7y = 11\), d’inconnues \((x,\,y) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}\).
On considère la fonction numérique \(f_n\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f_n(x) = x^ne^{-x}\) où \(n \in \mathbb{N}^*\) et \(f_0(x) = e^{-x}\). On note \((\mathcal{C}_n)\) la courbe représentative de \(f_n\) dans un repère orthonormé.
PARTIE A. Dans cette partie, \(n\) est un entier supérieur ou égal à 1.
1. Calculer la limite de \(f_n(x)\) quand \(x \to +\infty\).
2. Dans toute la suite de cette question, on distinguera les cas \(n\) pair et \(n\) impair.
a) Calculer la limite de \(f_n(x)\) quand \(x \to -\infty\).
b) Calculer \(f_n'(x)\) et dresser le tableau de variation de \(f_n\).
c) Étudier le signe de \(f_{n+1}(x) – f_n(x)\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\). En déduire les positions relatives de \((\mathcal{C}_{n+1})\) et \((\mathcal{C}_n)\).
3. Montrer que toutes les courbes \((\mathcal{C}_n)\) passent par deux points fixes indépendants de \(n\) dont on précisera les coordonnées.
1. On considère l’équation différentielle \((E)\) : \(y » + 2y’ + y = 2e^{-x}\).
a) Vérifier que la fonction \(\varphi\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(\varphi(x) = x^2e^{-x}\) est solution de \((E)\).
b) Montrer qu’une fonction numérique \(f\) est solution de \((E)\) si et seulement si \(f – \varphi\) est solution de l’équation \((E’)\) : \(y » + 2y’ + y = 0\).
c) Résoudre \((E’)\) et en déduire toutes les solutions de \((E)\).
d) Déterminer l’unique solution \(f\) de \((E)\) telle que \(f(0) = 1\) et \(f'(0) = -2\) et exprimer \(f\) en fonction de \(f_0\), \(f_1\) et \(f_2\).
2. On considère la fonction numérique \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = (x^2 – x + 1)e^{-x}\).
a) Étudier les variations de \(f\) et dresser son tableau de variation.
b) Construire la courbe représentative \((\mathcal{C})\) de \(f\) dans un repère orthogonal \((O,\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath})\). Unités \(\Vert\vec{\imath}\Vert = 1\) cm ; \(\Vert\vec{\jmath}\Vert = 5\) cm.
On donne : \(e^{-1} \approx 0{,}37\) ; \(e^{-2} \approx 0{,}13\).
Pour tout \(n \in \mathbb{N}\) et pour tout \(x \in \mathbb{R}_+\), on pose
\(I_n(x) = \dfrac{1}{n!}\displaystyle\int_0^x f_n(t)\,dt\) (On rappelle que \(0! = 1\)).
1.
a) Calculer \(I_0(x)\), \(I_1(x)\) et \(I_2(x)\) en fonction de \(x\).
b) Utiliser la question B 1.d. pour calculer l’aire \(\mathcal{A}\) du domaine plan limité par la courbe \((\mathcal{C})\), l’axe \((x’Ox)\) et les droites d’équations \(x = 0\) et \(x = 1\).
2.
a) Pour tout \(n \in \mathbb{N}\) et pour tout \(x \in \mathbb{R}_+\), exprimer \(I_{n+1}(x)\) en fonction de \(I_n(x)\).
b) En déduire \(I_n(x)\) en fonction de \(n\) et \(x\).
c) Pour \(n\) fixé, calculer la limite de \(I_n(x)\) quand \(x \to +\infty\).
3.
a) On prend \(x = 1\), démontrer que \(\forall n \in \mathbb{N},\ 0 \leq I_n(1) \leq \dfrac{1}{(n+1)!}\).
b) En déduire la limite de \(I_n(1)\) quand \(n \to +\infty\).
c) Déduire de la question 2. b. l’expression de \(I_n(1)\) en fonction de \(n\).
d) Utiliser les résultats précédents pour montrer que : \(e = \lim\limits_{n \to +\infty} \left[\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \dfrac{1}{k!}\right]\).