Mathématiques BAC Série C 2001 Madagascar – Sujet

BACCALAURÉAT – MATHÉMATIQUES

Session 2001 — Série C

MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR
ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE
BACCALAUREAT DE L’ENSEIGNEMENT GENERAL
SECRETATRIAT GENERAL
DIRESTION GENERALE DE L’ENSEIGNEMENT
SESSION 2001
SUPERIEUR
DIRESTION GENERALE DE L’ENSEIGNEMENT
SUPERIEUR PUBLIC et PRIVE
Service d’Appui au Baccalauréat
Série : C Epreuve de : MATHEMATIQUES
C
Durée : 4 heures
Code Matière : 009 Coefficient : 5
Les DEUX Exercices et le Problème sont obligatoires
NB :
– – – – – – – – – – – – – –
Exercice – 1 (04 points)
Dans le plan orienté (P), on considère un triangle ABC isocèle et rectangle en A tel que AB = AC et
mes AB,AC = .
2
1. Dans cette question, le plan (P) est rapporté au repère orthonormé direct (A, AB,AC).
a. Déterminer les affixes respectives z A , z B , z C des points A, B, C. (0,25 pt)
b. Soit T la transformation ponctuelle du plan (P) vers (P) qui à tout point M d’affixe z associe le point M’
d’affixe z’ telle que z’ = – z + 2i.
Caractériser géométriquement T. (0,25 pt)
c. Donner l’expression complexe de la rotation R de centre A et d’angle . (0,25 pt)
2
d. On pose f = T o R. Donner l’expression complexe de f. (0,25 pt)
En déduire la nature et les éléments géométriques de f. (0,25 pt)
e. On note I le centre de f ; donner la nature du quadrilatère ABIC. Justifier votre réponse. (0,25 pt)
Dans toute la suite, on utilisera une méthode géométrique. On pose AB = AC = a où a * .
2. Soit S la similitude plane directe de centre I qui transforme A en B. On note C’ = S(C) ; O’ = S(O) où O est
le milieu du segment [BC].
a. Donner le rapport et l’angle de S. (0,50 pt)
b. Montrer que C’ [IA]. (0,25 pt)
c. Donner l’image par S du segment [IA] et montrer que O’ est le milieu du segment [IB]. (0,75 pt)
3. On considère le système de points pondérés {(A ; – 1), (B ; 1), (C ; 1)}.
a. Quel est le barycentre G de ce système ? (0,25 pt)
b. Déterminer et construire l’ensemble ( ) des points M du plan tels que – MA2 + MB2 + MC2 = a2. (0,75 pt)
Exercice – 2 (04 points)
1. On considère deux dés cubiques parfaitement équilibrés D et D tels que :
1 2
D porte sur ses six faces les chiffres 1, 1, 2, 3, 3, 4.
1
D porte sur ses six faces les chiffres 1, 2, 3, 4, 5, 6.
2
On lance simultanément ces deux dés. On note a le chiffre lu sur D et b le chiffre lu sur D .
1 2
Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
A : « obtenir un couple (a, b) tel que a = b » (0,50 pt)
B : « obtenir un couple (a, b) de nombres impairs ». (0,50 pt)
2. On prend le dé D dont les six faces sont numérotées de 1 à 6.
2
On lance une fois ce dé. A chaque entier n obtenu (1 n 6), on associe le couple d’entiers (a, b) tels
que a = 5n + 3 et b = 3n + 1.
a. Pour n {1, 2, 3, 4, 5, 6}, donner le couple (a, b) correspondant ainsi que leur plus grand commun
diviseur d (d = PGCD (a, b)). (1,00 pt)

b. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
C : « a et b sont des nombres premiers » (0,50 pt)
D : « a et b sont premiers entre eux ». (0,50 pt)
3. Résoudre l’équation 13x – 7y = 11, d’inconnues (x, y) IN x IN. (1,00 pt)
PROBLEME (12 points)
On considère la fonction numérique f définie sur IR par : f (x) = xne–x où n IN* et f (x) = e–x .
n n 0
On note (C ) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.
n n
PARTIE A. Dans cette partie, n est un entier supérieur ou égal à 1.
1. Calculer la limite de f n (x) quand x + . (0,25 pt)
2. Dans toute la suite de cette question, on distinguera les cas n pair et n impair.
a. Calculer la limite de f n (x) quand x – . (0,50 pt)
b. Calculer f n ’ (x) et dresser le tableau de variation de f n . (2,00 pts)
c. Etudier le signe de f n+1 (x) – f n (x) pour tout x IR. (0,50 pt)
En déduire les positions relatives de (C n+1 ) et (C n ). (0,50 pt)
3. Montrer que toutes les courbes (C ) passent par deux points fixes indépendants de n dont on précisera les
n
coordonnées. (0,50 pt)
PARTIE B.
1. On considère l’équation différentielle (E) : y ’’ + 2y ’ + y = 2e–x.
a. Vérifier que la fonction définie sur IR par (x) = x2e–x est solution de (E). (0,50 pt)
b. Montrer qu’une fonction numérique f est solution de (E) si et seulement si f – est solution de
l’équation (E’) : y ’’ + 2y ’ + y = 0. (0,25 pt)
c. Résoudre (E’) et en déduire toutes les solutions de (E). (0,75 pt)
d. Déterminer l’unique solution f de (E) telle que f(0) = 1 et f ’(0) = – 2 et exprimer f en fonction de f 0 , f 1 et f 2 . (0,75 pt)
2. On considère la fonction numérique f définie sur IR par f(x) = (x2 – x + 1)e–x.
a. Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation. (1,00 pt)
 
b. Construire la courbe représentative (C) de f dans un repère orthogonal (O, i, j).
 
Unités || i || = 1 cm ; || j || = 5 cm. (0,50 pt)
On donne : e–1 ≈ 0,37 ; e–2 ≈ 0,13.
PARTIE C.
1 x
Pour tout n IN et pour tout x IR , on pose I (x) = f (t)dt (On rappelle que 0 ! = 1).
n n
n! 0
1. a. Calculer I 0 (x), I 1 (x) et I 2 (x) en fonction de x. (0,75 pt)
b. Utiliser la question B 1.d. pour calculer l’aire A du domaine plan limité par la courbe (C), l’axe (x’Ox) et
les droites d’équations x = 0 et x = 1. (0,50 pt)
2. a. Pour tout n IN et pour tout x IR , exprimer I n+1 (x) en fonction de I n (x). (0,50 pt)
b. En déduire I n (x) en fonction de n et x. (0,50 pt)
c. Pour n fixé, calculer la limite de I n (x) quand x + . (0,25 pt)
1
3. a. On prend x = 1, démontrer que n IN, 0 I n (1) . (0,50 pt)
(n 1)!
b. En déduire la limite de I n (1) quand n + . (0,25 pt)
c. Déduire de la question 2. b. l’expression de I n (1) en fonction de n. (0,25 pt)
n
1
d. Utiliser les résultats précédents pour montrer que : e = lim . (0,50 pt)
n k!
k 0