Mathématiques BAC Série C 2000 Madagascar – Sujet

BACCALAURÉAT – MATHÉMATIQUES

Session 2000 — Série C

MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR BACCALAUREAT DE L’ENSEIGNEMENT GENERAL
ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE
SECRETATRIAT GENERAL
DIRESTION GENERALE DE L’ENSEIGNEMENT
SUPERIEUR SESSION 2000
DIRESTION GENERALE DE L’ENSEIGNEMENT
SUPERIEUR PUBLIC et PRIVE
Service d’Appui au Baccalauréat
C
Série : C Epreuve de : MATHEMATIQUES
Durée : 4 heures
Code Matière : 009 Coefficient : 5
NB : Les deux exercices et le problème sont obligatoires
Exerice 1 4 points
Dans un plan orienté P, on considère le triangle direct ABC
isocèle et rectangle en A. (Voir figure). On note par :
C
– I le milieu du segment [ BC ] ;

r la rotation de centre B et d’angle ;
– B
2

r la rotation de centre C et d’angle ;
– C
2
A B
–
t la translation de vecteur BC ;
– g = t o r B et f = r C o g.
1. Méthode complexe : P étant muni du repère orthonormé R = ( A ; AB,AC ).
a. Déterminer z , z , z et z affixes respectives des points A, B, C et I. (0,5 pt)
A B C I
b. Donner l’expression complexe de f. (1 pt)
c. Préciser la nature et les éléments caractéristiques de f. (0,5 pt)
2. Méthode géométrique :
a. Caractériser g en décomposant t et r en deux symétries orthogonales. (0,75 pt)
B
b. Caractériser f en décomposant r et g en deux symétries orthogonales. (0,75 pt)
C
3. Soit S la similitude plane indirecte de centre A et qui transforme B en I.
a. Déterminer le rapport de S. (0,25 pt)
b. Soit (C) le cercle de centre A et passant par B. La demi-droite [AI), d’origine A et
contenant I, coupe (C) au point B’. Montrer qu’il existe une symétrie orthogonale
d’axe () qui transforme B en B’. Déterminer alors l’axe de S. (0,25 pt)

Exercice 2 4 points
Un sac contient dix boules indiscernables au toucher. Cinq boules sont blanches dont une
porte le numéro 0, une le numéro 1 et trois le numéro 2. Cinq boules sont noires dont quatre
portent le numéro 2 et une le numéro 3.
1. On tire au hasard, simultanément trois boules du sac. Calculer les probabilités des
événements suivants :
A : « Toutes les boules sont blanches ». (0,5 pt)
B : « Les boules sont de couleurs différentes ». (0,5 pt)
C : « On obtient la boule numérotée 0 ». (0,5 pt)
D : « Les numéros des boules sont pairs ». (0,5 pt)
2. Dans cette partie, on enlève du sac la boule numérotée 0. L’épreuve est maintenant la
suivante : du sac contenant les neuf boules restantes, on tire au hasard, successivement
et avec remise deux boules. On note par a le numéro apparu sur la première boule, b le
numéro apparu sur la deuxième et d = PGCD( a, b ) le plus grand commun diviseur de
a et b.
a. Démontrer que l’ensemble des valeurs prises par d est D ={ 1, 2, 3 }. (0,25 pt)
b. Pour tout k  D, on désigne par E l’ensemble des couples ( a, b ) tels que
k
d=k , c’est–à–dire : E = {( a, b )/PGCD ( a, b ) = k }.
k
On note par p la probabilité de E .
k k
31
Montrer que p = , puis déterminer p et p . (0,75 pt)
1 2 3
81
c. Calculer la probabilité de l’événement E : « l’équation ax + by = 2, d’inconnues ( x, y )
de Z x Z admet des solutions ». (0,5 pt)
d. Résoudre dans Z x Z l’équation : 3x + 2y = 2. (0,5 pt)
Problème 12 points
Soit f la fonction définie sur l’intervalle [ 0 ; + [ par :
f(0) = 0
f(x) = x ln x + ( 1 – x ) ln ( 1 – x ) si x  ] 0 , 1 [
x 1
f(x) = si x  [ 1 ; +  [.
x
e  x 1
On note par (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O ; i,j ) , d’unité
5 cm.

Partie A
1. Soit g la fonction définie sur ] 0 ; 1 [ par : g(x) = ln x – ln (1 – x).
a. Résoudre l’équation g(x) = 0. (0,5 pt)
b. En déduire, suivant les valeurs de x, le signe de g(x). (0,5 pt)
c. Montrer que pour tout x  ] 0 ; 1 [ , f ’ (x) = g(x). (0,5 pt)
2. Soit h la fonction définie sur [1 ; +  [ par : h(x) = ( 2 – x ) e x – 2.
a. Montrer que h est strictement décroissante sur [ 1 ; +  [. (0,5 pt)
3
b. Montrer que l’équation h (x) = 0 admet une solution unique   ] ; 2 [ . (0,5 pt)
2
c. En déduire, suivant les valeurs de x, le signe de h (x). (0,5 pt)
h(x)
d. Montrer que pour tout x  ] 1 ; +  [, f ’ (x) = . (0,5 pt)
x 2
(e  x 1)
3. a. Montrer que f est continue en 0 et en 1. (0,5 pt)
f(x) f(x) f(x) 1
b. Montrer que lim =, lim =, lim = .
x0 x x1 x1 x1 x1 e2
x0 x1 x1
Interpréter graphiquement ces résultats. (1,5 pt)
c. Montrer que (C) admet une asymptote horizontale que l’on précisera. (0,5 pt)
2
4. a. Utiliser l’égalité h () = 0 pour montrer que f () = – 1 + et dresser le

tableau de variation de f sur [ 0 ; +  [. (1 pt)
b. Tracer (C) sur l’intervalle [ 0 ; 3 ] en précisant les demi–tangentes en 0 et en 1. (1 pt)
On donne pour la construction :
x 0,5 1  = 1,6 2 3
f(x) – 0,69 0 0,25 0,22 0,12

Partie B
3
Soit   ] ; 2 [, le réel déterminé dans la question 2.b. de la partie A.
2
 (t1) n
1. Pour tout n  *, on pose I () =  dt.
n
1 e t t1
a. Utiliser la monotonie de f sur [ 1 ;  ] pour montrer que : 0  I () 
1
(2)(1)
. (0,5 pt)

b. Etudier le sens de variation de la fonction t e t t1 sur [ 1 ; +  [ . En
déduire que pour tout t  1, e t– t – 1  e – 2. (1 pt)
n1
(1)
c. Montrer alors que 0  I ()  . (0,5 pt)
n
(n1)(e2)
d. Montrer que la suite (I ()) est convergente. Préciser sa limite. (1 pt)
n
2. Soient a et b deux réels strictement positifs tels que a + b = 1.
a. En remarquant que f (x)  – ln 2, pour tout x  ] 0 ; 1 [ , montrer que :
1 1
a ln bln  ln 2. (0,5 pt)
a b
b. Pour quelles valeurs de a et b, la dernière inégalité est–elle une égalité ? (0,5 pt)