Mathématiques BAC Série A 2022 Madagascar : sujet et corrigé

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N.B. :
– Les deux exercices et le problème sont obligatoires.
– Machine à calculer scientifique non programmable autorisée.

EXERCICE 1 (05 points)

On considère la suite numérique \((U_n)_{n \in \mathbb{N}}\) définie par :

\(U_0 = -1\)
\(U_{n+1} = \dfrac{3}{4}U_n + 1\), pour tout \(n \in \mathbb{N}\)

1. Calculer \(U_1\) et \(U_2\) (0,25 × 2 pts)

2. Soit la suite numérique \((V_n)_{n \in \mathbb{N}}\) définie par : pour tout \(n \in \mathbb{N}\) : \(V_n = U_n - 4\)

a) Montrer que \((V_n)_{n \in \mathbb{N}}\) est une suite géométrique dont on précisera sa raison et son premier terme. (1,5 pt)

b) Exprimer \(V_n\) puis \(U_n\) en fonction de n (0,5 pt × 2)

3. On donne \(W_n = \ln\left[2\left(\dfrac{3}{4}\right)^n\right]\), \(n \in \mathbb{N}\) (ln désigne le logarithme népérien)

a) Montrer que \((W_n)_{n \in \mathbb{N}}\) est une suite arithmétique dont on précisera sa raison et son premier terme (1,5 pt)

b) Calculer limn→+∞ \(W_n\) (0,5 pt)

EXERCICE 2 (05 points)

Les résultats seront donnés sous forme de fraction irréductible.

Une trousse contient 9 stylos indiscernables au toucher dont 5 bleus et 4 rouges

1. On tire au hasard et simultanément 4 stylos de la trousse. On suppose que tous les événements élémentaires sont équiprobables

Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
A : « Obtenir 2 stylos bleus et 2 stylos rouges » (1 pt)
B : « Obtenir au plus un stylo rouge » (1 pt)

2. On tire au hasard et successivement avec remise 3 stylos de la trousse. On suppose que tous les tirages sont équiprobables.

a) Quel est le nombre de tirages possibles ? (1 pt)

b) Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
C : « Obtenir dans l’ordre un stylo bleu et 2 stylos rouges » (1 pt)
D : « Obtenir au moins 2 stylos bleus » (1 pt)

PROBLÈME (10 points)

Soit \(f\) la fonction définie par : \(f(x) = 1 - \dfrac{\ln x}{x}\)

On note \((\mathcal{C})\) sa courbe représentative dans un plan muni d’un repère orthonormé \((O, \vec{\imath}, \vec{\jmath})\) d’unité 1 cm.

Le sujet donne deux barèmes pour les questions 1 à 7 : colonne A1 et colonne A2.

1. Déterminer l’ensemble de définition de \(f\) (A1 : 0,5 pt ; A2 : 0,25 pt)

2.

a) Calculer limx→0⁺ \(f(x)\) (A1 : 0,5 pt ; A2 : 0,5 pt)

b) Interpréter le résultat (A1 : 0,25 pt ; A2 : 0,25 pt)

3.

a) On admet que limx→+∞ \(\dfrac{\ln x}{x} = \mathrm{O}\) .En déduire limx→+∞ \(f(x)\) (A1 : 0,5 pt ; A2 : 0,5 pt)

b) Interpréter le résultat (A1 : 0,25 pt ; A2 : 0,25 pt)

4. Montrer que pour tout \(x \in \left]0, +\infty\right[\) : \(f^{\prime}(x) = \dfrac{\ln x - 1}{x^2}\) où \(f^{\prime}\) désigne la fonction dérivée de \(f\) (A1 : 1,5 pt ; A2 : 1,25 pt)

5.

a) Résoudre sur l’intervalle \(\left]0, +\infty\right[\) l’équation : \(\ln x - 1 = 0\) (A1 : 1 pt ; A2 : 0,5 pt)

b) Dresser le tableau de variation de \(f\) (A1 : 2 pts ; A2 : 1,5 pt)

6. Ecrire une équation de la tangente (T) à \((\mathcal{C})\) au point d’abscisse \(x_0 = 1\) (A1 : 1 pt ; A2 : 1 pt)

7. Tracer \((\mathcal{C})\) ; (T) ainsi que ses asymptotes dans le même repère (A1 : 1,5 + 0,5 + 0,5 pts ; A2 : 1 + 0,5 + 0,5 pts)

Pour A2 seulement

8. Soit G la fonction définie sur \(\left]0, +\infty\right[\) par \(G(x) = x - \dfrac{1}{2}(\ln x)^2\)

a) Montrer que G est une primitive de \(f\) sur \(\left]0, +\infty\right[\) (1 pt)

b) Calculer, en cm², l’aire \(\mathcal{A}\) du domaine plan limité par la courbe \((\mathcal{C})\).l’axe des abscisses et les droites d’équations respectives \(x = 1\) et \(x = e\) (1 pt)

Dans le sujet original, la limite admise à la question 3.a) est écrite « = O » (lettre O à la place du chiffre 0).