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ÜEI,.ENSEIG}IEMENI.STIPERIE,UR iJAI]I’iilIfIflÀT IÈI] I,,EI\S§iüNEI.'{flN,I üh]NilRÀT
MINISTERE
ET DË Lir RECIdERCLIF; SCrE’NTIFIQUE
DIREC’I S ‘I E 0 C h R T E G TÀ E R] N AT E G R E A b{E L R E A D L E’L’ENSEIGNEMIINT 1èm e 5’E’9 s I oN 2 0l I
SUPERIEUR
DII{IÜ’TION DE I.’ENSEIGNEMENT SUI’E,Ii’TEUR
Service d’APPtli au Baccalauréat
d>ed+edre#eêée
§érie : A Epreuve de : IU-{THEMATIQUES
Durée : 02 heurss 15 minutes
Code matière : Û09 Coefficient: A 1: I
A2 :3
o{+-oo{HO’4HHo{
§& ; -Lrutilisation drune calculntrice scientifique notr progrâmmable est autorisée’
-Les deux exercices et le problème sont obligatoires’
EXERCICEl:{05Points)
Soit (Ur,)r,.ry la suite numérique défrnie par soll premier terme Uo = 1 et sa relation de recurence :
3Un*, – Un – 2{Un – 3) Pour toui n € N
1) a) f)émontrer que (U,.) est une suite arithinétique de raison r = -Z (1 ; p p t t )
brr Préciser la variation de (U”) (0,5 )
c) Expdrner Ll,, en fbnction cle n ( ( 0 t ,5 pt )
d) Exprimer en foriction cle n la somme s,. = Uo + u1 + “‘* un ‘ En déduire ‘see pt )
2)onconsiclèrelasuite(H,,)ctéfiniepar:V,,=39Unpouftotrtentiernatureln”
{ 1pt)
a) Calculer i/6 et I’l1
{ 1pt)
b) Montrer qu. (L{J est une sr-rite géométrique dont cn précisera sa raison.
EXER§XÇE2:(ÛsPoints)
Une urne contient i2 boules indiscernables au toucher dont :
o 6 blariches numérotées respectil’ement ‘. t,1,1,t,L et 2 ;
a 4 vertes tiirirérotées respectivenient : 1, L,2 et 3 ;
o 2 nr:irss numérotées iesp’^ctivement : 1 et 2
1) ûn tire sirnultanéiar11t (:l au hasard -1 bor-rles de I’urne.
a) Calculer la probabilité de l’évènernenl ; ( lpt
A : « avoir une son’une de numéros égale à’ 5 » )
b) Calcriler ia protra-bilité de 1’évènement :
ll :
> (1,5 pt )
c) Caiçi-iitr ii: p;:tri:iiit;ilite de l’évènement :
(1pt
C : rr avoir xn ç:loduit de ntrméros nul » )
Z) Mainteriant, cn tire succesgivement et satls remise 3 boules de I’urne.
a) Vérifler que le notnbre de cas possibies est égal à 1320′ (0,5 pt)
b) Calculer la probabilité de l’é’,2ènement :
(1pt)
D : t< avoir exâotetrlent une boule noire »
tt2
I
; A2)
PBPETE\’I4 : (10 Points)
Sûit i la fono i tion iiumai{ue définie sur/ =l 0 ; * co lpar/(r) = 3 * Tlnx’ (tnx)z’
on note par (Ü) sa courbe représentative cians un repère orthonormé {a; ûî) d’unité lcm’
1) a) calculer la lirnite de / en 0. Interpré’ter géométriquement le résultat’ ( lpt ; 0’75Pt )
b) Vérilier quo, p(-“iï.]r tout x e l, f (x) peut s’écrire solls 1a forme :
(0,75pt; 0,5Pt )
f (x) = 3 + (2 – tnx) lnx
c) En clédui.re la limite de / en *oo (0,25pt ; 0’25 Pt)
(lpt;lPt)
?L-fL)
2) Montreï que, pour tout x de I, f’ {x) -=
(û,Spt;0,5Pt)
3) a) Résoudre dans I l’équation L – lnx = A
b) En déduire le signe de f’ (x) et dresser le tableau de variation de f (1,5pts ; 1,5Pts)
4) Calculer f C I I et f(e3;. Que peut-on en conclure pour (t) (1,25pts ; 0,75Pt)
5) Ecrire une équation de la tangente (7′) à la courbe (c) au point ‘4 d’aSscisse 1 ( lpt ; CI,75 Pt )
(0,?5pt; 0,?5Pt)
6) Recopier et compléter le tablear-t suivant à 1-0-2 pres
I
L
x, ; 1 ^2 I! À
+ L
f (x)
7) Tracer la tangente (T) et la courbe (C) dans un même rePère sur
(2pts ; 1,75pts)
l’intervalie]0;ae1
Pog.Aaggglery:U
on consirrère ia fonction F définie sur I par F(r) .= -xl,(ltLx)z – 4lnx * t)
a) Déterminer F'(x) et en ciéduire une primitive de / sur i (0,75 Pt)
b) Calculer , eît cmz,la vaieur exacîe cle l’aire ,A. de lapartie du plan rJélimitée par la courbe (ti)’ 1’axe
e’ (0’75 pt)
des abscisses et les clroites d’éqtrations x = 1- eÏx =
‘t ‘,
,t