Mathématiques BAC Série A 2014 Madagascar – Sujet

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N.B. : Les deux (02) exercices et le problème sont obligatoires. L’utilisation d’une calculatrice scientifique non programmable est autorisée.

EXERCICE 1 (5 points)

On considère la suite \((U_n)_{n \in \mathbb{N}}\) définie par son premier terme \(U_0 = -4\) et par la relation de récurrence : \(U_{n+1} = \dfrac{1}{3}U_n - 4\).

1) Calculer \(U_1\) et \(U_2\). (0,5 pt)

2) Soit \((V_n)\) la suite définie par \(V_n = U_n + 6\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

a) Démontrer que \((V_n)\) est une suite géométrique dont on précisera la raison \(q\) et le premier terme \(V_0\). (1 pt)

b) Exprimer \(V_n\) puis \(U_n\) en fonction de \(n\). (1 pt)

3) a) Exprimer en fonction de \(n\) les sommes suivantes :

\(S_n = V_0 + V_1 + V_2 + \ldots + V_n\). (1 pt)

et \(S'_n = U_0 + U_1 + U_2 + \ldots + U_n\). (1 pt)

b) Calculer \(\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{S'_n}{n+1}\). (0,5 pt)

EXERCICE 2 (5 points)

L’évolution de la production rizicole \(y_i\) en tonnes d’un Petit Périmètre Irrigué (PPI) durant les six années est représentée par le tableau suivant :

1) Construire le nuage des points associé à la série \((x_i\,;\,y_i)\). Sur l’axe des abscisses : 1 cm pour unité. Sur l’axe des ordonnées : 60 à l’origine et 1 cm pour 5 tonnes. (1 pt)

2) Calculer les coordonnées du point moyen \(G\). (0,5 pt)

3) En utilisant la méthode de Mayer, déterminer une équation de la droite d’ajustement. (1,5 pt)

4) Tracer cette droite. (0,5 pt)

5) Déterminer graphiquement la production en tonnes du PPI en 2018. Vérifier le résultat à l’aide d’un calcul. (1,5 pt)

PROBLÈME (10 points)

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x) = 1 - 2x + e^x\). On note par \((C)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O,\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath})\) d’unité 1 cm.

(Les points entre parenthèses sont donnés dans l’ordre A1 puis A2.)

1)

a) Calculer \(\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)\). (0,5 pt ; 0,5 pt)

b) Vérifier que pour tout \(x \in \mathbb{R}\) : \(f(x) = x\left(\dfrac{1}{x} - 2 + \dfrac{e^x}{x}\right)\). (0,5 pt ; 0,5 pt)

c) Sachant que \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x} = +\infty\), calculer \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)\). (0,5 pt ; 0,5 pt)

2)

a) Calculer \(f'(x)\). (1,5 pt ; 1 pt)

b) Dresser le tableau de variation de \(f\). (1,5 pt ; 1,5 pt)

3)

a) Déterminer les coordonnées du point \(A\), intersection de \((C)\) avec l’axe \((y'Oy)\). (0,5 pt ; 0,5 pt)

b) Écrire une équation de la tangente \((T)\) à \((C)\) en \(A\). (1 pt ; 1 pt)

4) Calculer \(\lim\limits_{x \to -\infty} \left[f(x) - (-2x+1)\right]\). Que signifie ce résultat pour la courbe \((C)\) ? (1,5 pt ; 1 pt)

5) Calculer la valeur exacte de \(f(1)\) et celle de \(f(2)\). (0,5 pt ; 0,5 pt)

6) Tracer \((T)\) et \((C)\) sur l’intervalle \(\left]-\infty\,;\,2\right]\). (2 pt ; 1,5 pt)

Pour A2 seulement

7) a) Calculer une primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\). (1 pt)

b) En déduire l’aire géométrique en cm², du domaine plan limité par la courbe \((C)\), l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x = 0\) et \(x = \ln 2\). (0,5 pt)

On donne : \(\ln 2 \approx 0{,}7\) ; \(e^2 \approx 7{,}4\) ; \(e \approx 2{,}7\).