Mathématiques BAC Série A 2012 Madagascar – Sujet

BACCALAURÉAT – MATHÉMATIQUES

Session 2012 — Série A

Baccalauréat Série : A
Session 2012
N.B : – Les DEUX (02) exercices et le Problème sont obligatoires
– Machine à calculer non programmable autorisée.
Exercice 1 (05 points)
1- Soit (U ) une suite arithmétique définie par son premier terme U =−1 et sa raison r = 3.
n n∈ℕ 0
a) Exprimer U en fonction de n. (0,5 pt)
n
b) Déterminer l’entier naturel n si U =59 (0,5 pt)
n
c) Calculer la somme S tel que S= U + U +…U . (1 pt)
0 1 20
2- On considère la suite (V ) définie par : . V =e3n−1
n n∈ℕ n
a) Calculer V et V . (0,5 pt+0,5 pt)
0 1
b) Démontrer que (V ) est une suite géométrique de raison q = e3. (1 pt)
n n∈ℕ
c) Exprimer en fonction de n, la somme . S =V +V +….+V (1 pt)
n 0 1 n
Exercice 2 (5 points)
Un porte-monnaie contient 12 billets dont 5 billets de 500 Ar, 4 billets de 1.000 Ar et 3 billets de
2.000 Ar.
1- On prend successivement au hasard et sans remise 3 billets du porte-monnaie.
a) Vérifier qu’il y a 1320 cas possibles. (1 pt)
b) Calculer la probabilité d’obtenir :
A : « trois billets de même valeur » ; (1 pt)
B : « un montant total de 4.500 Ar ». (1 pt)
2- On prend au hasard et simultanément 2 billets du porte-monnaie.
Calculer la probabilité d’avoir :
C : « exactement deux billets de 500 Ar » ; (1 pt)
D : « au moins un billet de 1.000 Ar ». (1 pt)

Problème ( 10 points)
On considère la fonction numérique définie sur ]0 ; +∞[ par : f(x)=2x−1−2lnx .
On note par ( C ) sa courbe représentative dans un plan muni d’un repère orthonormé (O; ⃗ i, ⃗ j)
d’unité 2cm.
1- Vérifier que lim f(x)=+∞
x→O+
1 lnx
2- a)Montrer que pour tout ∈ ]0 ; +∞[ ; . f(x)=x(2− −2 ) (0,5 ; 0,75)
x x
lnx
b) On donne lim =0 . Calculer lim f(x) (0,75 ; 0,5)
x
x→+∞ x→+∞
f(x)
c) Sachant que lim =2 et lim f(x)−2x=−∞ , interpréter graphiquement la courbe
x
x→+∞ x→+∞
(C ) et la droite (D) : y = 2x (0,5 ; 0,5)
2x−2
3) a) Démontrer que pour tout ∈ ]0 ; +∞[ , f'(x)= où f’ est la fonction dérivée de f.(1;075)
2
b) Étudier le signe de f’(x)sur ]0 ; +∞[ (1;0,75)
4) a) Dresser le tableau de variation de f. (1 ; 1)
-1
b) Calculer à 10 près f(2), f(3) et f(e). (0,5 x 3 ; 0 ,25 x 3)
(On donne ln2≈0,7,ln3≈1,1ete≈2,7 ).
c) Écrire une équation de la tangente (T) à ( C ) au point d’abscisse x =2. (1 ; 0,75)
0
d) Tracer (T), (D) et ( C ) dans le même repère. (1,5 ; 1,5)
Pour A2 seulement
Soit F la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par F(x)=x2+x−2xlnx
a) Calculer F’(x) et montrer que F est une primitive de f sur ]0 ; +∞[ . (1)
b) Calculer, en cm2, l’aire A du domaine plan limité par la courbe ( C ), l’axe des abscisses (x’Ox)
et les droites d’équations respectives x = 1 et x = e. (1)