Mathématiques BAC Série A 2010 Madagascar – Sujet

N.B. : Les DEUX (02) exercices et le Problème sont obligatoires. Machine à calculer non programmable autorisée.

EXERCICE 1 — STATISTIQUE (05 points)

Les notes obtenues par dix candidats aux épreuves de natation et de danse d’un concours sont indiquées dans le tableau suivant :

1) Représenter le nuage de points associé à cette série statistique (on utilisera le papier millimétré ci-joint). (1,25)

2) On partage le nuage de points en deux parties d’effectifs égaux.

a) Calculer les coordonnées de \(G_1\) et \(G_2\), points moyens respectifs des nuages partiels ainsi obtenus. (0,75 + 0,75)

b) Placer les points \(G_1\) et \(G_2\). Tracer la droite \((G_1G_2)\). (0,25 + 0,25)

c) Déterminer une équation de la droite \((G_1G_2)\). (1)

3) Estimer, à l’aide de la droite \((G_1G_2)\), la note de natation qu’aura un candidat qui avait 10,5 en danse. (0,75)

EXERCICE 2 — SUITE NUMÉRIQUE (5 points)

1) \((U_n)_{n \in \mathbb{N}^*}\) est la suite numérique définie par : \(U_n = \dfrac{n – 1}{n}\).

a) Calculer les trois premiers termes de \((U_n)_{n \in \mathbb{N}^*}\). (1,5)

b) Exprimer \(U_{3n+1}\) en fonction de \(n\). (0,5)

2) \((V_n)_{n \in \mathbb{N}}\) est une suite arithmétique telle que : \(V_{75} = V_{12} + 504\).

a) Vérifier que la raison de \((V_n)_{n \in \mathbb{N}}\) est égale à 8. (1)

b) Sachant que \(V_{32} = 176\), calculer la somme \(S\) définie par \(S = V_{12} + V_{13} + \ldots + V_{75}\). (1,5)

c) Prouver que la suite \((V_n)\) est strictement croissante. (0,5)

PROBLÈME (10 points)

On considère la fonction numérique \(f\) définie sur \(\left]0\,;\,+\infty\right[\) par \(f(x) = x – 2\ln x\).

On désigne par \((\mathcal{C})\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath})\) d’unité graphique 2 cm.

(Les points entre parenthèses sont donnés dans l’ordre A1 puis A2.)

1)

a) Vérifier que \(f(x) = x\left(1 – \dfrac{2\ln x}{x}\right)\) pour tout réel strictement positif \(x\). (0,5 ; 0,5)

b) Sachant que \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x} = 0\), déterminer \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)\). (1 ; 0,75)

⚠ L’énoncé imprime bien « \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x} = 0\) ». C’est une coquille : \(\dfrac{f(x)}{x} = 1 – \dfrac{2\ln x}{x}\) tend vers 1, pas vers 0. La donnée utile, cohérente avec la question 1) a), est \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0\) : c’est cette lecture qui est retenue dans le corrigé.

c) On sait que \(\lim\limits_{x \to 0} f(x) = +\infty\). Que signifie ce résultat pour la courbe \((\mathcal{C})\) ? (0,5 ; 0,5)

2)

a) Justifier que pour tout réel strictement positif : \(f'(x) = \dfrac{x – 2}{x}\), où \(f’\) est la fonction dérivée de f. (0,5 ; 0,5)

b) Étudier le signe de \(\dfrac{x – 2}{x}\). (1 ; 0,75)

c) Dresser le tableau de variation de \(f\). (1,5 ; 1,25)

3)

a) Expliquer pourquoi la courbe \((\mathcal{C})\) passe par les points \(A(1\,;\,1)\), \(B(2\,;\,2 – 2\ln 2)\) et \(C(e\,;\,e – 2)\). (1 ; 0,75)

b) Déterminer une équation de la tangente \((T)\) à la courbe \((\mathcal{C})\) au point \(B\). (1 ; 0,75)

4)

a) Placer, dans le repère \((O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath})\), les points \(A\), \(B\) et \(C\). (On prend \(\ln 2 = 0{,}7\) et \(e = 2{,}7\).) (1 ; 0,75)

b) Tracer, dans le repère \((O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath})\), \((T)\) et \((\mathcal{C})\). (2 ; 1,5)

Pour A2 seulement (indépendante des questions précédentes).

\(g\) est la fonction numérique définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(g(x) = \dfrac{14x}{x^2 + 3}\).

On désigne par \((\Gamma)\) sa courbe représentative dans un repère orthogonal \((O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath})\) tel que \(\Vert\vec{\imath}\Vert = 1{,}5\) cm et \(\Vert\vec{\jmath}\Vert = 2\) cm.

a) Vérifier que, pour tout réel \(x\), on a : \(g'(x) = \dfrac{7u'(x)}{u(x)}\), où \(u’\) est la fonction dérivée de la fonction numérique \(u\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(u(x) = x^2 + 3\). En déduire une primitive \(G\) sur \(\mathbb{R}\) de la fonction \(g\). (0,5 + 0,5)

⚠ L’énoncé écrit « \(g'(x)\) », mais \(\dfrac{7u'(x)}{u(x)} = \dfrac{14x}{x^2 + 3}\) est exactement \(g(x)\), et non sa dérivée ; sans cela, la suite de la question (« en déduire une primitive \(G\) de \(g\) ») n’aurait plus de sens. Lecture retenue : \(g(x) = \dfrac{7u'(x)}{u(x)}\).

b) Calculer, en cm², l’aire exacte \(\mathcal{A}\) du domaine plan délimité par la courbe \((\Gamma)\), l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x = -\sqrt{3}\) et \(x = 0\). (1)