Mathématiques BAC Série A 2010 Madagascar – Sujet

BACCALAURÉAT – MATHÉMATIQUES

Session 2010 — Série A

Baccalauréat Série : A
Session 2010
N.B : – Les DEUX (02) exercices et le Problème sont obligatoires
– Machine à calculer non programmable autorisée.
Exercice 1 Statistique (05 points)
Les notes obtenues par dix candidats aux épreuves de natation et de danse d’un concours sont
indiquées dans le tableau suivant :
Natation(X) 3 5 6 6 9 9 12 12 14 14
Danse (Y) 5 8 8 10 10 13 13 16 16 17
1) Représenter le nuage de points associé à cette série statistique (on utilisera le papier millimétré
ci -joint). (1,25)
2) On partage le nuage de points en deux parties d’effectifs égaux.
a) Calculer les coordonnées de G1 et G2, points moyens respectifs des nuages partiels ainsi
obtenus. (0,75+0,75)
b) Placer les points G1 et G2.Tracer la droite (G1 G2). ( 0,25+0.25)
c) Déterminer une équation de la droite (G1 G2). (1)
3) Estimer, à l’aide de la droite (G1 G2), la note de natation qu’aura un candidat qui avait 10 ,5 en
danse. (0,75)
Exercice 2 Suite numérique (5 points)
n−1
1) (U ) est la suite numérique définie par :. U =
n n∈ℕ* n n
a) Calculer les trois premiers termes de (U ) . (1,5)
n n∈ℕ*
b) Exprimer U en fonction de n. (0,5)
3n+1
2) (V ) est une suite arithmétique telle que . V =V +504
n n∈ℕ : 75 12
a) Vérifier que la raison de (V ) est égale à 8. (1)
n n∈ℕ
b) Sachant que V =176 , calculer la somme S définie par S=V +V +….+V (1,5)
32 12 13 75
c) Prouver que la suite (V ) est strictement croissante. (0,5)
n

Problème (10 points)
On considère la fonction numérique f définie sur ]0;+∞[ par f(x)=x−2lnx
On désigne par (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O;i ⃗ , ⃗ j) d’unité
graphique 2cm.
lnx
1) a) Vérifier que f(x)=x(1−2 ) pour tout réel strictement positif x. (0.5 ;0.5)
x
f(x)
b) Sachant que ; lim =0 déterminer lim f(x) (1 ; 0.75 )
x
x→+∞ x→+∞
c) On sait que limf(x)=+∞ Que signifie ce résultat pour la courbe (C) (0,5 ; 0,5)
.
x→0
x−2
2) a) Justifier que pour tout réel strictement positif : f'(x)= où f est la fonction
x
dérivée de f. (0.5 ; 0.5)
x−2
b) Étudier signe de . (1 ; 0,75)
x
c) Dresser le tableau de variation de f. (1,5 ;1,25)
3) a) Expliquer, pourquoi la courbe (C) passe par les points A (1;1) , B( 2 ; 2- 2ln2) et
C ( e ; e-2) (1 ; 0,75)
b) Déterminer une équation de la tangente(T) à la courbe (C) au point B. (1 ; 0,75 )
4) a) Placer, dans le repère (O;i ⃗ , ⃗ j) les points A, B et C. (On prend ln 2 = 0,7 et e = 2,7)
(1 ; 0,75)
b) Tracer ,dans le repère (O;i ⃗ , ⃗ j) , (T) et (C). (2 ; 1,5 )
Pour A2 seulement (indépendante des questions précédentes).
14x
g est la fonction numérique définie sur IR par : g(x)=
x2+3
On désigne par ( ) sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O;i ⃗ , ⃗ j) tel que
‖i ⃗‖=1,5cm et ‖⃗ j‖=2cm .
u'(x)
a) Vérifier que, pour tout réel x, on a : g'(x)=7 où est la fonction dérivée
u(x)
de la fonction numérique u définie sur IR par : u(x)=x2+3 .En déduire une primitive G
sur IR de la fonction g. (0,5 + 0,5)
b) Calculer, en cm2 , l’aire exacte A du domaine plan délimité par la courbe ( ), l’axe
des abscisses et les droite d’équations x=−√3 et x = 0 (1)