Baccalauréat Série A
Session 2004
N.B. : – Le candidat doit traiter les DEUX Exercices et le Problème.
– Machine à calculer autorisée.
Exercice 1 (5 points)
Soit la suite arithmétique (U ) définie par la donnée des deux termes U = -2 et U = 55.
n n Î IN* 1 20
1°) Calculer la somme S = U + . . . . . . + U (0,5 pt)
1 20
2°) Déterminer la raison r de cette suite. (1 pt)
3°) Exprimer U en fonction de n. (0,5 pt)
n
4°) Pour tout n élément de IN*. On pose V =e3n−5 .
n
a/ Calculer V et V . (0,5+0,5pt)
1 2
b/ Montrer que (v ) est une suite géométrique dont on précisera la raison q. (1 pt)
n n∈ℕ¿
c/ Exprimer la somme T V + V + . . . . + V en fonction de n (1 pt)
n = 1 2 n
Exercice 2 (5 points)
N.B : On donnera les résultats sous forme de fraction irréductible.
Une trousse contient douze stylos de même marque, indiscernables au toucher : 3
rouges, 4 verts, 3 bleus et 2 noirs.
1°) Un élève prend au hasard un stylo de la trousse. Chaque stylo a la même
probabilité d’être tiré. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
A : « Obtenir un stylo rouge » (0,5 pt)
B : « Obtenir un stylo vert ou un stylo noir ». (0,5 pt)
2°) On remet la trousse à sa condition initiale. Un autre élève tire au hasard et
simultanément deux stylos de la trousse. On suppose que les tirages sont
équiprobables.
Évaluer la probabilité de chacun des événements suivants :
C : « Les deux stylos tirés sont de même couleur » (0,5 pt)
D : « Obtenir deux stylos de couleurs différentes ». (1 pt)
3°) On remet la trousse à sa condition initiale. Un troisième élève tire
successivement et sans remise trois stylos de la trousse. On suppose que les
événements élémentaires sont équiprobables.
a/ Déterminer le nombre de cas possibles. (0,5pt)
b/ Déterminer les probabilités des événements suivants :
E : « Obtenir trois stylos de même couleur » (1 pt)
F : « Obtenir aucun stylo vert ». (1 pt)
Problème (10 points)
1
On considère la fonction numérique f définie sur l’intervalle ]0;+∞[ par : f(x)= −1+lnx
x
On note par (C ) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O;i ⃗ , ⃗ j) (unité :
2 cm).
1°) a/ Calculer f ’(x) pour tout x de ]0;+∞[ . (1 ; 1)
b/ Étudier le signe de f ’(x) suivant les valeurs de x. (0,5 ; 0,5)
2°) Calculer . lim f(x) (0,5 ; 0,25)
x→+∞
1−x+xlnx
3°) a/ Montrer que f(x) peut s’écrire : f(x)= pour x∈]0;+∞[ (0,5 ; 0,25)
x
b/ En admettant que limxlnx=0 . En déduire lim f(x) (0,5 ; 0,25)
x→0 x→0+
4°) Dresser le tableau de variation de f. (1 ; 1)
5°) Compléter le tableau des valeurs ci-dessous : (1 ; 1)
1
x 1 2 e
e
f (x)
6°) a/ Calculer f’’(x) pour tout x∈]0;+∞[ et étudier son signe sur l’intervalle ]0;+∞[
(1 ; 0,5)
b/ En déduire que le point I d’abscisse 2 est un point d’inflexion de (C ). (0,5 ; 0,5)
c/ Trouver une équation de la tangente (T ) à (C ) en I. (1 ; 0,5)
f(x)
7°) a/ On admet que lim =0 . Quelle conclusion peut-on en tirer sur la courbe (C ) ?
x
x→+∞
(0,5 ; 0,25)
b/ Tracer (C ) et (T ). (1,5+0,5 ; 1,5+0,5)
Pour A2 seulement
8°) Soit la fonction G définie sur l’intervalle par G(x) x ln x – x
=
a/ Calculer G ’(x) pour tout x élément de l’intervalle ]0;+∞[ ( ; 0,25)
Et en déduire une primitive de f sur l’intervalle ]0;+∞[ ( ; 0,75)
b/ Calculer, en cm2, l’aire du domaine plan limité par la courbe (C ), l’axe des abscisses
(x’Ox) et les droites d’équations respectives x=1 et x= e. ( ; 1)
1
On donne : ≈0,36 ; ln 2 ≈ 0,7 ; e ≈ 2,7.
e