Mathématiques BAC Série A 2001 Madagascar – Sujet

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N.B. : Le document original ne porte aucune mention N.B. particulière. Le sujet comprend deux (02) exercices et un problème, tous obligatoires, notés respectivement 4 points, 4 points et 12 points.

EXERCICE 1 (4 points)

On considère la suite numérique \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) définie par :

\(u_{n+1} = \dfrac{2}{3}u_n - 1\).

1. Calculer \(u_1\) et \(u_2\). (0,5 pt)

2. Soit la suite numérique \((v_n)_{n \in \mathbb{N}}\) définie pour tout \(n \in \mathbb{N}\) par \(v_n = u_n + 3\).

a) Montrer que \((v_n)_{n \in \mathbb{N}}\) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. (1 pt)

b) Exprimer \(v_n\) puis \(u_n\) en fonction de \(n\). (1 pt)

c) Calculer \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_n\). (0,5 pt)

3. On pose \(w_n = \ln\left[2\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\right]\), \(n \in \mathbb{N}\) (\(\ln\) désigne le logarithme népérien).

Montrer que \((w_n)_{n \in \mathbb{N}}\) est une suite arithmétique dont on précisera la raison et le premier terme. (1 pt)

⚠ Coquille de l’énoncé : le document original (vérifié sur les deux pages numérisées et sur la couche texte du PDF) ne donne pas la valeur du premier terme \(u_0\), pourtant indispensable aux questions 1 et 2.b. Le corrigé ci-dessous est donc conduit en gardant \(u_0\) comme donnée : il suffit d’y remplacer \(u_0\) par la valeur portée sur le sujet remis en salle. La question 2.c, elle, ne dépend pas de \(u_0\).

EXERCICE 2 (04 points)

Un porte-monnaie contient 12 billets dont 5 billets de 500 Ar, 4 billets de 1.000 Ar et 3 billets de 2.000 Ar.

1. On prend successivement au hasard et sans remise 3 billets du porte-monnaie.

a) Vérifier qu’il y a 1320 cas possibles. (1 pt)

b) Calculer la probabilité d’obtenir :

\(A\) : « trois billets de même valeur » (1 pt)

\(B\) : « un montant total de 4.500 Ar ». (1 pt)

2. On prend au hasard et simultanément 2 billets du porte-monnaie.

Calculer la probabilité d’avoir :

\(C\) : « exactement deux billets de 500 Ar » ; (1 pt)

\(D\) : « au moins un billet de 1.000 Ar ». (1 pt)

⚠ Barème : l’exercice est annoncé sur 04 points alors que les cinq sous-questions totalisent 5 points sur le document. Les barèmes sont reproduits tels quels ; le total général annoncé reste 4 + 4 + 12 = 20 points.

PROBLÈME (12 points)

Soit \(f\) la fonction numérique définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x) = (1 - x)e^x - 1\).

On note par \((C)\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthonormé \((O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath})\) d’unité 1 cm.

1. Déterminer l’ensemble de définition de \(f\). (0,5 pt)

2.

a) Calculer la limite de \(f\) en \(+\infty\). (0,5 pt)

b) Sachant que \(\lim\limits_{x \to -\infty} xe^x = 0\), montrer que \(\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -1\). (0,5 pt)

Donner une interprétation graphique de ce résultat. (0,5 pt)

3.

a) Calculer la fonction dérivée \(f'(x)\) et étudier son signe. (1 pt)

b) Dresser le tableau de variation de \(f\). (1 pt)

4.

a) Calculer les coordonnées du point d’intersection \(A\) de la courbe \((C)\) avec la droite \((D)\) d’équation \(y = -1\). (1 pt)

b) Écrire l’équation de la tangente \((T)\) à la courbe \((C)\) au point d’abscisse 1. (1 pt)

5.

a) Calculer \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x}\) (on pourra écrire \(\dfrac{f(x)}{x} = \dfrac{1 - x}{x}\,e^x - \dfrac{1}{x}\)). (0,5 pt)

Que peut-on en conclure ? (0,5 pt)

b) Reproduire le tableau suivant et donner pour chaque valeur de \(x\), une valeur approchée de \(f(x)\) à \(10^{-2}\) près. (1,5 pt)

c) Tracer \((T)\), \((D)\) et \((C)\). (2 pts)

6. Soit \(F\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(F(x) = (2 - x)e^x - x\).

a) Montrer que \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\). (0,5 pt)

b) Calculer, en cm², l’aire \(A\) du domaine plan limité par la courbe \((C)\), l’axe \((x'Ox)\) et les droites d’équations \(x = 0\) et \(x = 1\). (1 pt)

On donne : \(e^{-1} \approx 0{,}37\) ; \(e^{-3} \approx 0{,}05\) ; \(\ln 5 \approx 1{,}61\).