Mathématiques BAC Série A 2001 Madagascar – Sujet

BACCALAURÉAT – MATHÉMATIQUES

Session 2001 — Série A

Baccalauréat série A
Session 2001
Exercice 1 ( 4 points)
2
On considère la suite numérique (u ) définie par : u = u −1
n n∈ℕ n+1 3 n
1. Calculer u et u . (0,5 pt)
1 2
2. Soit la suite numérique (v ) définie pour tout n∈ℕ par v = u + 3.
n n∈ℕ n n
a- Montrer que (v ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le
n n∈ℕ
premier terme. (1 pt)
b- Exprimer v puis u en fonction de n. (1 pt)
n n
c- Calculer lim u (0,5 pt)
n
n→+∞
1 n
3. On pose w =ln[2( ) ] n∈ℕ (ln désigne le logarithme népérien).
n 3
Montrer que (w ) est une suite arithmétique dont on précisera la raison et le
n n∈ℕ
premier terme. (1 pt)
EXERCICE 2 : (04 points)
Un porte-monnaie contient 12 billets dont 5 billets de 500 Ar, 4 billets de 1.000 Ar et 3 billets de
2.000 Ar.
1- On prend successivement au hasard et sans remise 3 billets du porte-monnaie.
a) Vérifier qu’il y a 1320 cas possibles. (1 pt)
b) Calculer la probabilité d’obtenir :
A : «trois billets de même valeur» (1 pt)
B : «un montant total de 4.500 Ar ». (1 pt)
2- On prend au hasard et simultanément 2 billets du porte-monnaie.
Calculer la probabilité d’avoir :
C : «exactement deux billets de 500 Ar » ; (1 pt)
D : « au moins un billet de 1.000 Ar ». (1 pt)

Problème (12 points)
Soit f la fonction numérique définie sur IR par :f(x) = (1 – x)ex – 1.
On note par (C ) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O;i ⃗ , ⃗ j)
d’unité 1 cm.
1. Déterminer l’ensemble de définition de f. (0,5 pt)
2. a- Calculer la limite de f en +∞ (0,5 pt)
b- Sachant que lim xex=0 montrer que lim f(x)=−1
(0,5 pt)
x→−∞ x→−∞
Donner une interprétation graphique de ce résultat. (0,5 pt)
3. a- Calculer la fonction dérivée f ’(x) et étudier son signe. (1 pt)
b- Dresser le tableau de variation de f. (1 pt)
4. a- Calculer les coordonnées du point d’intersection A de la courbe (C ) avec la droite
(D) d’équation y = –1. (1 pt)
b- Écrire l’équation de la tangente (T) à la courbe (C ) au point d’abscisse 1. (1 pt)
f(x) f(x) 1−x 1
5.a- Calculer lim (on pourra écrire = ex− (0,5 pt)
x x x x
x→+∞
Que peut-on en conclure ? (0,5 pt)
b- Reproduire le tableau suivant et donner pour chaque valeur de x, une valeur
approchée de f(x) à 10-2 près. (1,5 pt)
x –3 –1 ln 5
f(x)
c- Tracer (T), (D) et (C ). (2 pts)
6. Soit F la fonction définie sur IR par F(x) = (2 – x)ex – x.
a- Montrer que F est une primitive de f sur IR. (0,5 pt)
b- Calculer, en cm2, l’aire A du domaine plan limité par la courbe (C ), l’axe (x’Ox) et
les droites d’équations x = 0 et x = 1 (1 pt)
On donne :
e–1
≈0,37 ;
e–3
≈0,05 ; ln 5≈1,61.