Mathématiques BEPC 2018 Madagascar : sujet et corrigé

Lecandidat doit traiter obligatoirement les deux parties suivantes :
– Partie A : ACTIVITES NUMERIQUES
– Partie B : ACTIVITES GEOMETRIQUES
NB : L’usage d’une calculatrice est formelle interdit

PARTIE A : ACTIVITES NUMERIQUES (25,5 pts)

I- ALGEBRE (18 pts)

1) Ecrire \(A = \dfrac{\dfrac{3}{4} - 4}{\dfrac{5}{2} + 1}\) sous forme d’une fraction irréductible

2) Rendre rationnel le dénominateur du nombre \(B = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} + 3}\)

3) Résoudre dan \(\mathbb{R}\) et mettre sous forme d’intervalle l’ensemble des solutions du système :
\(\begin{cases} 2 < x < 7 \\ 5 \leq x \end{cases}\)

4) Une application affine \(f\) est définie par \(f(x) = ax + b\) où \(a\) et \(b\) sont des nombres réels. Trouver \(a\) et \(b\) si \(f(1) = -2\) et \(f(3) = +2\).

5) Lorsqu’on diminue de 3cm le côté d’un carré, son aire diminue de 39cm².
Trouver la mesure du côté initial du carré.

II- ORGANISATION DE DONNEES (7,5 pts)

Un éleveur des chèvres a noté sur son agenda les couleurs de ses bêtes. Il a obtenu les résultats suivants :

1) Préciser l’individu statistique

2) Dresser le tableau statistique des effectifs.

3) Construire le diagramme semi-circulaire des effectifs

Partie B- ACTIVITES GEOMETRIQUES (34,5 pts)

I- GEOMETRIE VECTORIELLE ET ANALYTIQUES (6 pts)

1) E, F, G et H sont des points du plan qui vérifient \(3\overrightarrow{EF} - 5\overrightarrow{GH} = \vec{0}\)
Justifier que les vecteurs \(\overrightarrow{EF}\) et \(\overrightarrow{GH}\) sont colinéaires.

2) Le plan est muni d’un repère orthonormé (O, I, J)
On donne les points : \(E\,(4\,;\,3)\), \(F\,(1\,;\,-1)\), et \(G\,(-1\,;\,1)\).
Ecrire une équation cartésienne de la droite (D), hauteur issue du sommet E du triangle EFG.

II- CONFIGURATION DE L’ESPACE (6 pts)

Une pierre précieuse a la forme d’une pyramide régulière MATHS à basecarré de 6cm de côté et de hauteur \(h = 8\)cm.

1) Calculer le volume V de cette pyramide.

2) On coupe cette pyramide par un plan parallèle à la base.
Sachant que le coefficient de réduction est \(K = \dfrac{3}{5}\),
Calculer le volume \(V^{\prime}\) du tronc de la pyramide obtenu.
On prend\(\pi = 3{,}14\)

III- CONFIGURATION DU PLAN (22,5 pts)

L’unité de longueur est le centimètre.
ABCD est un rectangle de centre O tel que AB = 4, et BC = 3

1) En utilisant la propriété directe de Pythagore, calculer AC

2) M est point de [AD] tel que AM = 1. La droit parallèle à (AC) passant par M coupe [DC] au point N.
En utilisant la propriété directe de Thalès, calculer DN

3) LA translation de vecteur \(\overrightarrow{DB}\) transforme C en E.
Justifier que BECD est un parallélogramme

4) Calculer \(\tan \widehat{BEC}\)

5) Montrer que le triangle ACE est isocèle en C.

6) [AB] est un segment. En utilisant une règle non graduée et un compas, construire le point C tel que ABC soit un triangle rectangle et isocèle en C.

NB : Le candidat soit rédiger le programme de construction et donner des justifications