Mathématiques BEPC 2017 Madagascar : sujet et corrigé

Le candidat doit traiter obligatoirement les deux parties suivantes :
– Partie A : ACTIVITES NUMERIQUES
– Partie B : ACTIVITES GEOMETRIQUES
NB : L’usage d’une calculatrice est formelle interdit

PARTIE A : ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (25,5pts)

I- ALGEBRE (18 pts)

1) Ecrire \(A = \dfrac{2{,}5.10^{-7}}{5.10^{-6}}\) sous forme de \(a.10^{n}\) où a et n sont des nombres entiers.

2) Ecrire \(B = \sqrt{75} + \sqrt{48} - 7\sqrt{3}\) sous la forme de \(a\sqrt{b}\) où a et b dont des nombres entiers naturels.

3) Sachant que \(2{,}64 < \sqrt{7} < 2{,}65\), encadrer \(1 + 3\sqrt{7}\) par deux nombres décimaux d’ordre 2.

4) Résoudre graphiquement l’inéquation \(2x - y + 1 < 0\).

5) Un livre de Français coûte 5000 Ar de plus qu’un livre d’Anglais. 6 livres d’Anglais et 4 livres de Français valent 280 000Ar.
Calculer le prix de livre de chaque sorte.

II- ORGANISARION DES DONNEES (7.5 pts)

Le diagramme circulaire ci-contre représente la répartition des notes des élèves de la classe de 3^ème du CEG Ambohitsara.

1) Préciser le caractère étudié.

2) Calculer la mesure de l’angle correspondant à la classe [12 ; 16[.

3) Quatre élèves ont une note appartenant à la classe [8 ; 12[.
Dresser le tableau des effectifs.

PARTIE B : ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES (34,5 pt)

I- GÉOMÉTRIE VECTORIELLE ET ANALYTIQUE (6 pts)

1) ABCD est un parallélogramme de centre I.
Et utilisant la relation de Chasles, justifier que \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{ID} = \overrightarrow{AI}\)

2) Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O, I, J), on donne les points \(A\,(3\,;\,3)\), \(B\,(0\,;\,2)\) et \(C\,(4\,;\,0)\). Ecrire une équation cartésienne de la droite (D), médiane issue de A du triangle ABC.

II- CONFIGURATION DE L’ESPACE (6 pts)

Une borne kilométrique a la forme d’un pavé droit surmonté d’un demi-cylindre. (Voir figure ci-contre)
On donne \(h = 50\) cm et \(a = 30\)cm.

1) Calculer le volume du pavé droit.

2) Calculer le volume total de cette borne kilométrique.
On prend \(\pi = 3{,}14\).

III- CONFIGURATION DU PLAN (22,5pts)

L’unité de longueur est le centimètre.
On donne la figure ci-contre avec \(MN = 4\) et \(PN = 4\).

1) Préciser la mesure de l’angle \(\widehat{PMN}\).

2) En utilisant la Propriété directe de Pythagore, calculer la valeur de MP.

3) La droite (MP) coupe le cercle \((\mathcal{C})\) en E et F est le projeté orthogonal du point O sur la droite (MP). Justifier que (OF) et (EN) sont parallèles

4) Soit L le symétrique de N par rapport à E. Démontrer que LMNP et un carré

5) Démontrer que FOP et MEN sont semblables.

6) R, T et S sont trois points non alignés.
T est l’image de R par une symétrie orthogonale.

Construire à l’aide d’un compas seulement le point H image de S par cette symétrie.

N.B : Le candidat doit rédiger le programme de construction et donner des justifications