Mathématiques : session 2012

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PARTIE A : ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES (32,5 points)

I- CONFIGURATION DU PLAN  (20,5 points)L’unité de longueur est le centimètre.ABC est un triangle rectangle en A tel que et BC=6.1. Le point O est le centre du cercle (C) de diamètre [BC]. Déterminer, en degré la mesure de l’angle 2. Justifier que le triangle AOC est équilatéral. 3. En utilisant le  calculer AC.4. La droite (L) passant par O et parallèle à la droite (AC) coupe (AB) en E. Justifier que le point E est milieu du segment [AB].5. Soit D l’image de A par la symétrie de centre O. Justifier que ACDB est un rectangle. 6. On donne la figure ci-dessous :Recopier la figure et, à l’aide d’une règle non graduée et d’un compas, construire le point M sur [Ax) et le point N sur [Ay) tels que le point I est le milieu du segment [MN].NB : Le candidat doit rédiger le programme de construction et justifier.II- GÉOMÉTRIE VECTORIELLE ET ANALYTIQUE : (7 points)1. A, B et C sont trois points du plan vérifiant la relation : Que représente le point B pour le segment  [AC] ?2. (D) est la droite d’équation y = -2 x + 3. Justifier que le point E (2 ; -1) appartient à (D).3. Sans calcul, écrire l’équation de la droite (L) passant par E et parallèle à (D). Justifier votre réponse.III- CONFIGURATION DE L’ESPACE : (5points)Le FRAM d’un collège veut construire une salle de classe dont les caractéristiques sont données sur la figure ci-dessous :1. Calculer la surface des tôles nécessaires pour toiture.2. Calculer le volume total d’air contenu dans la salle.On donne PARTIE B : ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (27,5 points)VI- ALGÈBRE (20,5 points)1. Après calcul, écrire le nombre sous forme d’une fraction irréductible.2. On donne . Justifier que B est un entier.3. Soit le polynôme C(x) = 4 x2 – 81 + (x+3)(2x + 9). Factoriser C(x).4. Résoudre l’équation (2 x + 9)(x-2) = 0.5. L’application affine f vérifie : l’image de 2 par f est égale à 0, et l’antécédent de 5 est égale à 0. Déterminer f.6. Deux voitures relient deux villes A et B. Elles partent de A à la même heure. La première roule à 80Km/h et arrive en B à 11 heures. La deuxième roule à 60Km/h et arrive en B à 13 heures. Les vitesses sont supposées constantes. Calculer l’heure de départ des deux voitures.VI- ORGANISATION DES DONNÉES :  (7 points)Le tableau ci-après indique la consommation en riz des familles d’un village par semaine :

Consommation de riz (en kg) [0 ; 10[ [10 ; 20[ [20 ; 30[ [30 ; 40[ [40 ; 50[
Nombre de famille 15 20 6 9 …

1- Compléter le tableau par le nombre convenable.2- Tracer l’histogramme des effectifs de cette série statistique.3- Calculer le nombre de familles qui consomment moins de 30 kg de riz par semaine.

Corrigés
I- CONFIGURATION DU PLAN1. La mesure de l’angle AOC est :*Démonstration :ABC est inscrit au cercle (C) parce que le cercle passe par tous les côtés du triangle (schéma).Théorème de l’angle inscrit : la mesure de l’angle inscrit est égale à la moitié (1/2) de la mesure de l’angle au centre qui intercepte le même arc.Or, sur le schéma, l’angle qui intercepte le même arc (arc CA en rouge) que l’angle AOC est l’angle ABC.*Application numérique :Théorème de l’angle inscrit : (angle ABC) = ½ (angle AOC) or (angle ABC) = 30°donc (angle AOC) = 2 x (angle ABC) = 2 x 30° = 60 °2. Justifions que le triangle AOC est équilatéral : Théorème du triangle équilatéral : Un triangle est équilatéral quand il a 3 côtés de même longueur ou quand il a 2 angles de 60°.Or, on sait que (angle AOC) = 60°. Il est difficile de calculer l’angle CAO mais on peut facilement trouver l’angle ACO.*Démonstration :On sait que ABC est un triangle rectangle en A donc (angle BAC) = 90°Théorème d’un triangle rectangle : Somme des angles des 3 côtés = 180° *Application numérique :somme des angles de ABC = 180°(angle ABC) + (angle BAC) + (angle ACB) = 180°30° + 90° + ( angle ACB) = 180 ° Donc (angle ACB) = 180° – 120° = 60°Comme (angle ACB) = 60° et (angle AOC) = 60° appartiennent au triangle AOC, donc AOC est équilatéral.3. Calcul de AC en utilisant sin (angle ABC) : 4. Justifions que le point E est le milieu du segment [AB] :Théorème des milieux : Dans un triangle, si une droite passe par le milieu de 2 côtés, alors elle est parallèle au troisième côté.Or, on sait que la droite (L) passe par O qui est le milieu du côté [BC] du triangle ABC. On sait aussi que (L) est parallèle au côté [AC] du triangle ABC.Donc, (L) passe par E : le milieu de [AB] qui est le troisième côté du triangle ABC.5. Justifions que ACDB est un rectangle :Théorème : un quadrilatère (figure à 4 côtés) qui a des diagonales qui se coupent en leur milieu et qui sont de même longueur est un rectangle.On sait que D est l’image de A par O. Alors, O est le milieu de [AD] avec OA = OD. Or, OC est un rayon du cercle (L). Comme O est le milieu de [BC], alors OB = OC = OA. Ainsi, OB et OA = OD sont aussi des rayons du cercle (L). Maintenant, on sait que le quadrilatère ACDB a des diagonales qui se coupent en O (leur milieu) et qui sont de même longueur. Donc, ACDB est un rectangle.6. SchémaII- GÉOMÉTRIE VECTORIELLE ET ANALYTIQUE :1. B représente le milieu du segment [AC] parce que si AB = ½ AC, donc AB = BC.2. Justifions que E (2 ; -1) appartient à (D) : y = -2x + 3Théorème : E (2 ; -1) appartient à (D) si y(E) = 0E (2 ; -1) signifie que : 2 représente x sur l’axe des abscisses et -1 représente y sur l’axe des ordonnées) : E (Xe ; Ye) = E (2 ; -1)y(E) signifie qu’on remplace x et y de l’équation de (D) par les cordonnées de E.(D) : y = -2x + 3(D) : -1 = -2(2) + 3 (D) : -1 = -4 + 3(D) : -1 = -1(D) : -1 + 1 = 0, donc E (2 ; -1) appartient à (D).3. L’équation de la droite (L) passant par E et parallèle à (D) est : y = -2 x + 3Justification: Théorème : deux droites confondues ont la même équation(L) et (D) sont parallèles, donc elles ont le même coefficient directeur x = -2. Or, (L) et (D) passent par le même point E (2 ; -1). Donc, ce sont des droites confondues.
 

Corrigé disponible

Correction

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CORRIGE

EXERCICE 2-Ou dispose &un dé cubiq : Parlail ~cix aces 1~ On considere; dans Zx2 ,Féquation ({2):llr-Jy = 9 . nulnérolées 2 dont une face marquée 2. trois faces marquées 3 ct dcux laces narquées 4 2) Soit {vosYo) la solution de On lance trois fois de suite cu dé Or nul chaque fois Ie Ou 2 : llro – 7yo = 9 numnero apparu &la face supericure en ]ecrivane dans [lxo ~Tyo ~Ixo -729_7x0 Fordre de gauche droite pcur former Un nombre entier naturel 4a ~Ty – 7 =2-7x Caluls de probshamés 410 -2 = -7xo + 7yo +7 = 7(-2+y A ; ( L.e nomlore :orn:é nC corlient que des chiflres 4×0 52 [mod.7] preniers " signifie Comme (~xo + yo +1) €2, OI { obtenir trois chiffres parni 2 b) Comme 4*0 =2 [mod.7] ~ dautre purt 4*1=4;4×2=8;4×3 _12;|x4 =16 = 2 [mod.7] P(A) = on peut prendre Xo 24. D} : & Le chillie . appait #u Iroins uac fois daus Par suite ]x4 -7yo – 9 ou cncore 3yo =35, soi: Y = 5 onore Tortne Donc (4;3) est une solution paticuliere de ['eqpustion (E)| Considerons Feverenacnt contehze Bde E. c) Soient x ety deux entiers rclatifs tels quc [lx-Jy= 9 B " n'obtenir aucun chilirc 4 dans le nombre forn donc Iix-Jy=llx4-7×5 Soit (r-4) =7(v-5) B = A donc P{R)– PcA ) Comne 11 et 7 sont Freniers Cilre cux ] théorene de 19 Gauss pernet d'azirmer que 7 civise Ct q"C doù F'B) = : 11 divise (y =3).Dexisre dorc dcux ericrs rclatils * et k' lels que x-4 =7k ety-5=ll&' C : ( Oblenir Fi=iture c" 'on5re 92 dlans le s} stèn base 5 De légalité 1l(x-4) = 7(y-8) 0n dcdui: lx7k = Jxllk' | Ecrivons d'abord 92 dans !a bas+ 5 . soit k = &' 92 Donc pour un certain crier k.on2 18 824 74ety=S+lk Réciproquement si x = 4+7:4y=5+ !Ik uvec &eZ slors 11(4 + 7k) -7(3+11k) = 14+77k 35 7312 9. soit 92 (332)s Par conscquent Ic couple (4 -7k,3-11x) est sontion donc € ; < Obteaic les chiffes 3 _ 3 _ 2 dans cet ordre > de 1'{quation (E):llx-Ty = 0 par suite P(c)- En conclusior, les soutions de Véquarion (E):tlx 7y =9 sont le; couples (4+74;5+11 ) * €2 D : < La SOmin' des chislivs dans |e: nombre lotmé 4st 4}1l2 – 76 = 9 = PGCD(u:b) . signilic On sait qjue a et b sont muliples de leur FGCD (obterir les chiftes 3 = 3 = 2 dans le désordre) Y Or PGCD(a;b) = 9 , donc il existe ceux enziers nuurels % (obtcnir les chittre, 2 2 . dans le désordre) et k'tels que a =9k ct 6 =9k P(P) =3x(2) ,>() 2 1+1-9+2 On a alers 26 72 Hla – 76=9si et seulement s: ]Ix9k -7 <9k' =9 si ct seulerent si [lk = 7k' =1 . Comme ]x2 -7×3=] , On peul prendn % =20k' =3 On en ceduit que (,b) = (18,27) MATHEMA ETC SUCCES BACC >

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De mneme

PRQBLEME ABC est :n tiangle rectangle et isocele tel que 2CA? CB' + CC? 2CA ~(CA?+ AB? AB = AC = 2 et mes (AB;Ac) On désigne par G Je €4? AB" _0 Si H est 1 projete orthokonal de € sur (D) #lors nilieu du segrnent [BC]et par 0 celui de [AC] On met les points A et C sur une droite horizontale. CH = AJ 2 el donc CI/2 42 4 -4U. Partie ! Doù 2CA CB' +(C CH? 1-2) La somme 2 _ 1 + 1 = 2 est non nulle donc % barycentre F des points A, B et C affectés respecrivement cest-à-dirc (1 ) passe pevr point c. de 2-=] et ] existe et b) FA? FO: +OA L+] = 2 AB + AC – – AB + = Ac AI FB? = FC' CB' FA? +(AB? AC?) = 2+(4+4).10 2 = |+1 2-1+1 21 BA AC = (BA +AC) BC FC? = FA 22 c) * F etant ] barycentte du syslemne <e points pondére ; AF = BG car G est le milieu de [Be] {(4,2);(E,- );(c,a)}donc pour toui point M du plan P Voir F sur %c 'graphique à la fia de la partie 2MA MB- +MC? = 2MF?+ ZFA ~FB? +FC? De AF – BG on déduit que AB+BÉ =5F +FG ZM2+ 4-10+2 = 2 MF? ou: encore AB = FG. 2_ MB? Me2 MH? _ 4 parallélogrammc Or pour Me(1) Donc ABGF es: un Fétant le barycentre du systême cle' points pondcrés 2M1 ? 2 M#: ou &f OEE 2 MI? MH2 b) donc {(4,2);(B,-1):(C,4)}donc pour tout pcint M du plan P si 2M1 ? MH? al-s 2MF? _ 4 = MH? Reciproqcenzent 2MA MB MC = 2MF 2MA? _ MB? MC- = MH? 4 Uu encorC Me(F) Conune 2 = 1 = 1 = 0,lc vecteur 2MA MB MC esl En coaclusion ]'équation est equivalenle & ]'éqjuation indépeadant du point est-à-dire 2MI? =MII 2MA MB MC = 2FG-F5-FC =2T4-FI; +FC-ZFC AF De l2 rclation 2MFz MI' =-2FC car F =b '{(A,2) (B,-1).(€,1} W} ? Nh D'où Me(E) si et seulement si (F)est Ie conique de {oyer #. de direcirice læ droite (D)et si e1 sealement si JzMl-|-2ic | 5 Comne e < 1 , on en déduit que 'excentricité 2 = si e seulement si MF = FC est une cllipse. 'eisemble (E) est le cercle de centre P et de rayon TC . Vor le Izce du cercle (E) Slr la tigurc ci-contre 2S02 ]le symétric de B par rappon à A ct (D) la droite psa2?!e: Ferallele à(AC) (r)= Me?/ZMA? MB' NC Ml1? 54 ou Fe ? Proicte orthogonal &e M sur (D)} 1) < 2AN: _Ab? -AC' = 0 car AB = AC Comme J est& spsatrie de B par rapport à A donc esteslle 'projcze caicgcnzle de A sur (D) etAJ = AB pàr suite Aj- _2 =4-2=0 D'où 2AA? _ AB? + AC' =4 Zercorc (T) passe par le point 126

SUCCES < BACC > Mtheeariuistc

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Partie U : 1-Dei = C6 on 2 7 = CO car 0 cst Ie milieu de [C4]

PROBLEME ?

Partie A Soit fla foncton ( éfuic sur F par =

donc 0 _ :c =1 soit ;c == f() = rer sirsu De nêtne 4(+1)=] soit :^ =2 -1=1 [(*) In [2r+v4x' +1 si+> 0 0 1ÿ et ]æ|-lv | donc v -Oci, soit z6 1-a) Etude de Ls continuite de f en% 0B =OR +20G donc ZR = I+21 ~218, soit :J = 2-1-2i -1-2i Comme 0 < {, < nc 1(0).-02 Aj = BA donc z} 72A = 3A lim ï(x) = in Inj24 VAs? +1 ]=bI=0 = ((0) De AF = BG on 2 =F Zu 35' Y 4+01' soit = =I+i-[-2i= -i Iin ((r) = line 1% 0 =f(o) 2-a) $ 2 ure expression complexe de la forme 2' = 02 +b 90 où a e: 0 sont deux complexes era = On en déduil que: ( est à la fois continuc à droite et conlinu: fai + 02-1 -2i 'gauche en Xa 0. Par consequent f e continue en 1 Corure S(F) = !et S(C) =€ on a (+ =- b} Etude de l dleriva'ilite €efenx = 0 202–2 Em {r) 1u, Jimn Faprés Fenonce On en déduit (H+i)=2-2sc;0 = 1+[ 6 ==1-2i fest dérivable à choil en X6 = € ctf, (0) = 2 L'expression complexe de S e5 ? =-2i3-]-2i Jur f6x)-6 = Jin linn b) $ a une expression comploxe de l2 {orne 2' =03+b 1,0 10 17,0 aveca= -2; et b=-12 fcsi déivable à pUcheun't = 0 et f,(0) =1 Ja = -2| 2* I ; $ est usc sinxilirud Pane induecte de Cone €4 (0} (0} fnest pas dcrivable en8) rappot 2 Enukde_vication de Centre C(-1) fest dsfinie Sul F-+v[ Axca Soit M un point de4Cefire lim f(x) = lin xex .0 2 ~2i(z+1)=2(2+1) Cns Jin Z Var + Fo dcnc liia f1v 2i(*-0+1) =2(+w-1) fest continae ?: Jéivahlc sur ] -"0] e pour r . 2r-2y-2+(-Zx-2y-2120 (~2r-2y-2=0 Ft)=v+xe' (1+x)e" ce qui est équnakent 2x+y+1=0 [-2x-2y-2=0 Pourre]- 0}, f'(x) Est du signe de 1+% car En conciusion S est la sirilitudepzocindireste Il en resuhte que Fes1 strictemen: décroissante sur de rappont 2, de centre C(–)e daxc kdoite 4 cl strictemer cruissanle su: [-.0] d'quation x+y+1 =0. D: niênc, | es: oninle c9 derivable sur Jo +oet 5-9) A'=S(A) cquivav à2, ~2]2i 1 4i Sx B'= S(B) équivaut 838 =-2 ((-2)-2-2i =-5 -4i 2v42? + 1 pour x €Jo;+ z| c) S(ABC) =(s(A)s(B)s(c))=a B€ 214 V4x2 +! 2 – Voir le tracé du trieng e 4 'BC sur le grphique précedent. 2v4r2 _1 feslshrictenent -roi-sanne {ur Jo;+[ MeTHEMATic JES TC SUCCES < BACC 427

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SESSION 2012

Iableau de variation de

quc litn =+2ol €n (eduil (que lin: g() – Too +éo

Iableau de variation de g

g (r)

f(x)

g(x)

3- Svit g la fonction définie sur [~;v[ par g(z) =x-f(r)=r _ -In[2x+v422 + 2(2) a) g est cérivable sur [2;+œ[ et pour tout xc [2;+[ {(2)=2-1(4+v17 {422+1-2 g'(*)=1-f'x)=l Conune la restriction ce la fonction ? 2 Fiatervalle [2] V4r2 +1 esl continue e? strictenncit croissante sur ] intervalle [23Je (4×2+1-2 v4r2 +1+2) 422 _; que 8(2) =2-In(4+v17)+2-2,09 = ~0,09<0e 7v42 +1 v4x2+1+2) (42+1)4rz+1+2) 8(3)=;-1(6+.57)3-2,49-0,51>0 Alors le corollaire Cu -heoreme des valeurs intermédiaires Pour x € [2;+9[, g'(*) est du sigie de 422 3 car permet &effirmer quc [ equntion g(x)-vou encore ((v4,2 +i) v4x? +1+2)>0 Fequation ? r) =t admel ure soluion u ct une seule Ielie Que 2 =( 2 Or pour x c [2;+œ[, on "1224 cu encorc 412 216 4×2 53213> 0, 4-a) On s2t d upres le question / -2) que Ja restriction de fà Oul encorc Tirervalle ] [2.S]es: contine ct strictement croissante donc pour tout xe[2;+œ[, 8 '(x)>0. sur L, On en deduit (pue 5) Pour } > 0 pour tout reI=[2,sJona f(*)f(t)-[f(2);F(s). =ln 2r+v4x2 +1 In 2*4 F(9] Or f(2) = In (4+v17) 2.09>2 Cl f(;)=in6+ 57) – 2,49<3 In 2x+*4( 4+ =Inr 2+ 'Z] Par corséquent f(i)ei 01 encorc pour toutxel,f(s)el. b) Soit x &1 =[2;3} oa 24123 01 encore 4 < % In(r)+In "279] suil 16 2412 <36 17 <41 +12;7 lim g(x) = lim 4 Ir(r) -In 4174v4r_1 < In (x)

437

Or ( < = cl 77 =1-0-0 =| Ainsi pour toutrel Osf(x)s done 0 <

Comne limn

In(r)

128

SuccEs BACC > MATHEnaTiquEs TC Jm

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b) Tracés de(€) de la droite (D):y=x et des demi-tangentes en.*, = ()

{ra)

Partic R Remarque Ureerrranhieateconsizlée si ct seulement si 0+2' 20 2w = te' si et seulement si o' 26p+ u' 2v = ter Au lieu de (E):yry=r si er seulement si 0 4 + re 24 cal u' 2u =xc' URE (E ):y–7222 si c: sculcmcnl si @ 2e [-L'ensemblees starrese Lécration dilltrenlielle si et seulement si w est so ulion de {Ez) (Ez):y'-2y=0 =rescnille &s {oncionS 4 de Ja forme c) On sait que la fonction x + > Q(x) = Ce2x où C eR x+@(x)=c=secer C3! unc solution dc (3; 2 Soient 4813 à5e5afionciioa detinie sur % Far Daprè; la question préce enle 6+u es1 donc unc "(x) -(ax-b)z. solution de #) Soit Féquvtica &fcaee (5):y-2y=} Par coaséquent, F'ensemslc ~es sol ttions dc (E1) est u csl une solurion & (E) gaskini si T'ensemble des toncuious v dc la foame 0 -ey- (u+t)e* 1A y(x) =Ce2r -(x+ )e où ( € 12 pour {cut x €R: xe 3 – Dey(r) =Ce2x _(x+ I)e' 8371 dedun pour toutreR:(-a-e-akder y(0)=0 équivaut à €vo (0+1)." 0, donc € _1 pour toutx € R:(-2-1)242-6=0 si ct seulemen: si -0-1=064-6=0 Lsolulion &e (E1) Vu; a1 Dule 21 0 esl la lonction si ctsculezeni si022156 == 1ken_(x+le" On onc "(r) =(~-)7 00062080 ) € 8000 6) Soit € une foncion daivchesrr 0 F Il est une solution de (Er) siet sculement si (o+2)-2 0-2)=I 130

SUCCES < BACC > + MATHEMATIQUES TC