Mathématiques BEPC 2011 Madagascar : sujet et corrigé

Le candidat doit traiter les deux parties suivantes :
– La partie A : ACTIVITES GEOMETRIQUES
– La partie B : ACTIVITES NUMERIQUES

PARTIE A : ACTIVITES GEOMETRIQUES (32,5 points)

I- CONFIGURATION DU PLAN (20,5 points)

L’unité de longueur est le centimètre.
EFG est un triangle rectangle en E tel que EG = 4 et GF = 5.

1. En utilisant la propriété directe de Pythagore, calculer EF.

2. Calculer sin \(\widehat{EFG}\).

3. Soit H le milieu du segment [EG], I est le projeté de H sur la droite (GF) parallèlement à la droite (EF).
Justifier que I est le milieu du segment [GF].

4. Calculer IH.

5. Démontrer que le triangle EIG est isocèle en I.

6. (C) est le cercle de centre O. A et B sont des points de ce cercle. P est un point du segment [AB].
(Voir figure ci-contre)
A l’aide d’une règle non graduée uniquement, construire le point Q symétrique de P par rapport au point O.

II- GEOMETRIE VECTORIELLE ET ANALYTIQUE (7 points)

1. G, H, I, J et K sont des points du plan.
En utilisant la relation de Chasles, calculer la somme : \(\overrightarrow{GH} - \overrightarrow{IH} + \overrightarrow{IJ} - \overrightarrow{KJ}\).

2. Dans un plan muni d’un repère orthonormé \((O\,;\,\vec{I}\,;\,\vec{J})\), on donne les points \(A(2\,;\,3)\), \(B(0\,;\,2)\) et \(C(4\,;\,-1)\).
Calculer BC.

3. Donner une équation cartésienne de la hauteur (H) du triangle ABC issue du sommet A.

III- CONFIGURATION DE L’ESPACE (5 points)

L’unité de longueur est le centimètre. La figure ci-contre représente le patron d’un cône de révolution de rayon à la base 5 et d’apothème 10.

1. Calculer l’aire de la base du cône.

2. Calculer l’aire totale de cône
On prend : \(\pi = 3{,}14\)

PARTIE B : ACTIVITES NUMERIQUES (27,5 points)

IV- ALGEBRE (20,5 points)

1. Ecrire \(A = \dfrac{2.10^{5} \times 15.10^{-2}}{5.10^{2}}\) sous forme \(a.10^{n}\) où \(a\) et \(n\) sont des nombres entiers relatifs.

2. Ecrire \(B = 3\sqrt{8} - 5\sqrt{2} + \sqrt{72}\) sous forme \(a\sqrt{b}\) où \(a\) et \(b\) sont des entiers naturels.

3. Sachant que \(3{,}14 < x < 3{,}2\), donner un encadrement d’ordre 2 de \(5 - x\).

4. Factoriser le polynôme : \(P(x) = x^2 - 2 + \left(x + \sqrt{2}\right)\left(1 + \sqrt{2} + x\right)\).

5. Résoudre graphiquement le système d’inéquations suivant : \(\begin{cases} 2 \geq y \\ x + y - 1 < 0 \end{cases}\)

6. Une rose côte 80 Ariary de plus qu’une marguerite. Un bouquet de 7 roses et 5 marguerites coûte 1014 Ariary.
Calculer le prix d’une rose et le prix d’une marguerite.

V- ORGANISATION DES DONNEES (7 points)

Le tableau suivant représente la répartition des élèves d’une classe de 6^ème suivant leur poids (en kg).

1. Préciser la population statistique.

2. Sachant que 5% des élèves pèsent moins de 20kg, compléter ce tableau.

3. Quel est le pourcentage des élèves pesant 30kg au moins ?