Mathématiques BEPC 2009 Madagascar : sujet et corrigé

Le candidat doit traiter les deux parties suivantes :
– La partie A : ACTIVITES GEOMETRIQUES
– La partie B : ACTIVITES NUMERIQUES

PARTIE A : ACTIVITES GEOMETRIQUES (32,5 points)

I- CONFIGURATION DU PLAN (20,5 points)

L’unité de longueur est le centimètre.
ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 3 et AC = 4. D est le milieu du segment [BC] et E un point du segment [AC] tel que (DE) // (AB).

1. Dessiner en vraie grandeur le triangle ABC.

2. Calculer BC.

3. Calculer cos \(\widehat{ACB}\).

4. Justifier que E est le milieu du segment [AC].

5. Construire le cercle (F) circonscrit au triangle ABC.

6. La droite (ED) coupe le cercle (F) aux point H et K (le point H est sur le demi-cercle contenant A).
Calculer HE. (Indication : Utiliser la propriété de Thalès).

II- GEOMETRIE VECTORIELLE ET ANALYTIQUE (7 points)

1. A, B et C sont trois points du plan tels que \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \vec{0}\). Que peut-on dire du point A pour le segment [BC] ?

2. Dans le plan muni d’un repère orthonormé \((O\,;\,I\,;\,J)\), on donne les points \(A(1\,;\,2)\), \(B(3\,;\,-2)\) et la droite \((D) : y = x + 1\). Justifier que le point A appartient à la droite (D).

3. Ecrire une équation cartésienne de la droite \((\Delta)\) médiatrice du segment [AB].

III- CONFIGURATION DE L’ESPACE (5 points)

L’unité de mesure de longueur est le centimètre. La figure ci-contre représente deux cônes identiques de sommet commun S placés à l’intérieur d’un cylindre de rayon 4 et de hauteur 15. Les deux cônes sont remplis de sable.

1. Calculer le volume de la partie vide du cylindre.

2. Calculer le rapport du volume de sable à celui du cylindre.

On donne \(\pi = \dfrac{22}{7}\).

PARTIE B : ACTIVITES NUMERIQUES (27,5 points)

IV- ALGEBRE (20,5 points)

1. Ecrire sous la forme \(a\sqrt{3}\) (\(a\) est un entier naturel) le nombre : \(n = \sqrt{75}\).

2. Développer l’expression suivante : \(E = (2x - 3)x - (2x - 1)^2\).

3. Soit A(x) = -2×2 + x − 1. Calculer \(A\left(\dfrac{1}{2}\right)\).

4. F et G sont deux polynômes définie par : \(F(x) = (x + 3)(x - 1)\) et \(G(x) = (x - 1)(x - 2)\), factoriser l’expression : \(F(x) + G(x)\).

5. Résoudre dans IR l’équation : \(F(x) + G(x) = 0\).

6. Velo descend à Un hôtel où il voit l’affichette suivante :

HOTEL MIRANA
Tarif :
Ar 12 000 / jour + Ar 6 000 de frais

Sachant qu’il dispose d’une somme de Ar 90 000, pendant combien de jours pourra-t-il rester à l’hôtel ?

V- ORGANISATION DES DONNEES (7 points)

Voici les notes sur 20 obtenues par les 28 élèves d’une classe de 3^ème au cours d’une interrogation écrite de Mathématiques :

1. Préciser la population.

2. Pour organiser les données précédentes, le professeur de Mathématiques de cette classe a prévu le tableau suivant :

Compléter le tableau.

3. Tracer l’histogramme des effectifs de cette série statistique.