Mathématiques BEPC 2008 Madagascar : sujet et corrigé

Le candidat doit traiter les deux parties suivantes :
– La partie A : ACTIVITES GEOMETRIQUES
– La partie B : ACTIVITES NUMERIQUES

PARTIE A : ACTIVITES GEOMETRIQUES (32,5 points)

I- CONFIGURATION DU PLAN (20,5 points)

L’unité de longueur est le centimètre.
BC est un triangle rectangle en A tel que AB = 8 et AC = 6.

1. En utilisant la propriété directe de Pythagore, calculer BC.

2. D est le milieu du segment [AB], calculer tan \(\widehat{CDA}\).

3. E est le point tel que \(\overrightarrow{CE} = \overrightarrow{AD}\). Démontrer que BCDE est un parallélogramme.

4. Justifier que la droite (BC) est une médiane du triangle CDE.

5. Le point N est le centre du cercle \((\mathcal{C})\) de diamètre [BC].
Démontrer que le triangle NAB est isocèle en N.

6. On donne une droite (L) et un segment [EQ] tel que (L) et (EQ) ne sont pas perpendiculaires.
En utilisant uniquement le compas et la règle non graduée, construire le cercle \((\mathcal{F})\) passant par les points E et Q et de centre I tel que I appartient à (L).

II- GEOMETRIE VECTORIELLE ET ANALYTIQUE (7 points)

1. M, N, P et Q sont des points non alignés du plan tels que \(2\overrightarrow{MN} = 3\overrightarrow{PQ}\). Les vecteurs \(\overrightarrow{MN}\) et \(\overrightarrow{PQ}\) sont-ils colinéaires ?

2. L’unité de longueur est le centimètre. Le plan est muni d’un repère orthonormé \((O,\, I,\, J)\). On donne les points \(A(4\,;\,3)\), \(B(-2\,;\,1)\) et \(C(2\,;\,-2)\).

a. Calculer les coordonnées du point K milieu du segment [AB].
b. Ecrire une équation cartésienne de la médiane issue du sommet C du triangle ABC.

III- CONFIGURATION DE L’ESPACE (5 points)

Un jouet est formé d’une demi-boule surmontée d’un cône, comme l’indique la figure ci-contre.
On donne AB = 10cm et BC = 12cm

1. Calculer la distance AO.

2. Quel est le volume du jouet à \(10^{-1}\) près ?
On prend \(\pi = \dfrac{22}{7}\).

PARTIE B : ACTIVITES NUMERIQUES (27,5 points)

IV- ALGEBRE (20,5 points)

1. Calculer \(A = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \times \dfrac{3}{2}\).

2. On donne \(B = 4\sqrt{75} + 8\sqrt{3} - \dfrac{1}{2}\sqrt{48}\). Ecrire B sous forme \(a\sqrt{b}\) où \(a\) est un entier relatif et \(b\) un entier naturel.

3. Soit x un nombre réel tel que \(-0{,}5 < x < -0{,}4\) ; encadrer \(\dfrac{2}{x}\) par deux entiers relatifs consécutifs.

4. Factoriser C(x) = 4×2 − 2x + \(\dfrac{1}{4}\).

5. Représenter graphiquement l’application affine f définie par \(f(x) = -3x + 2\).

6. 60 livres de Mathématiques et Anglais ont respectivement 3cm et 2cm d’épaisseur. Empilés les uns sur les autres, ils atteignent 160cm de hauteur. Déterminer le nombre de livres de chaque sorte.

V- ORGANISATION DES DONNEES (7 points)

Le tableau ci-dessous montre la répartition des professeurs d’un collège selon le nombre d’années d’enseignement.

1. Préciser la population statistique

2. Quelle est le classe modale ?

3. Les professeurs ayant effectué au moins 20 ans d’enseignement reçoivent le grade de Chevalier de l’Ordre National.
Quel est le pourcentage de professeurs ayant reçu ce grade ?