Mathématiques BEPC 2007 Madagascar : sujet et corrigé

Le candidat doit traiter les deux parties suivantes :
– La partie A : ACTIVITES GEOMETRIQUES
– La partie B : ACTIVITES NUMERIQUES

PARTIE A : ACTIVITES GEOMETRIQUES (32,5 points)

I- CONFIGURATION DU PLAN (20.5 points)

L’unité de longueur est le centimètre.
On considère un triangle ABC isocèle de base [BC] et de hauteur [AH] tel que \(BC = 6\) et \(AH = 4\).

1. En utilisant la propriété de Pythagore, calculer AB.

2. Calculer \(\cos \widehat{ABH}\).

3. O est un point de [BC] tel que \(BO = 2{,}5\). \((\mathcal{C})\) est un cercle de centre O et de rayon OB. Ce cercle coupe (AB) en M et (BC) en D. Calculer DM.

4. La hauteur issue de C du triangle ABC coupe (AB) en K. Calculer CK.

5. Les droites (AH) et (MD) se coupent en I. Prouver que (BI) et (AD) sont perpendiculaires.

6. \((\mathcal{F})\) est un cercle de centre J et de rayon \(r = 4\), \((\mathcal{D})\) une droite sécante à \((\mathcal{F})\), I un point distinct de J tel que \(d\left[I\,;\,(\mathcal{D})\right] \leq \dfrac{r}{2}\).
Construire un point A de \((\mathcal{F})\) et un point B de \((\mathcal{D})\) tels que I soit le milieu de [AB].

II- GEOMETRIE VECTORIELLE ET ANALYTIQUE (7 points)

1. R, S et T sont des points distincts du plan tels que \(\overrightarrow{RS} = -2\overrightarrow{RT}\). Que peut-on dire des points R, S et T ?

2. Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O ; I ; J) dont l’unité est le centimètre. On donne les points \(A(2\,;\,1)\), \(B(3\,;\,-2)\) et \(C(-1\,;\,0)\). Calculer le coefficient directeur de la droite (AB).

3. Ecrire une équation cartésienne de la droite \((\mathcal{D})\) passant par C et perpendiculaire à la droite (AB).

III- CONFIGURATION DE L’ESPACE (5 points)

Un tronc d’arbre taillé a la forme d’un cylindre de révolution de hauteur H = 60cm et rayon à la base R = 21cm.

1. Calculer le volume de ce tronc d’arbre.

2. Pour fabriquer un mortier on a creusé à l’intérieur un cône de révolution de profondeur h = 30cm et de rayon de base r = 14cm, comme l’indique la figure ci-contre.
Calculer le volume de la partie restante.

On prend \(\pi = \dfrac{22}{7}\).

PARTIE B : ACTIVITES NUMERIQUES (27,5 points)

IV- ALGEBRE (20,5 points)

1. Ecrire le nombre \(A = \dfrac{1{,}57 \cdot 10^{-6}}{314 \cdot 10^{-2}}\) sous la forme \(a \cdot 10^{n}\), où \(a\) et \(n\) sont des entiers relatifs.

2. Ecrire sous forme \(p\sqrt{b}\) le nombre \(B = \sqrt{275} - \sqrt{44} + 5\sqrt{99}\), où \(p\) et \(b\) sont des entiers.

3. f est une application affine définie par \(f(x) = -2x + 7\).
Si \(0{,}33 < x < 0{,}34\), donner un encadrement d’ordre 2 de f(x).

4. Soit la fraction rationnelle \(F(x) = \dfrac{x^2 - 2x}{x^3 - 4x}\). Simplifier F(x).

5. Résoudre, le système d’équations : \(\begin{cases} 2x - 3y = -1 \\ 3x - 4y = -2 \end{cases}\)
où les inconnues sont x et y.

6. Trouver deux nombres entiers naturels différents de 0 dont la somme est strictement inférieure à 9 et la différence strictement supérieure à 4.

V- ORGANISATION DES DONNEES (7 points)

Le diagramme ci-contre représente la répartition des notes des élèves (sur 20) d’une classe de troisième en Mathématiques lors d’une composition écrite.

1. Préciser la population statistique.

2. Quelle est la classe modale ?

3. Quel pourcentage représente les élèves ayant obtenu des notes inférieures à 8.