Mathématiques BEPC 2006 Madagascar : sujet et corrigé

Le candidat doit traiter les deux parties suivantes :
– La partie A : ACTIVITES GEOMETRIQUES
– La partie B : ACTIVITES NUMERIQUES

PARTIE A : ACTIVITES GEOMETRIQUES (32,5 points)

I- CONFIGURATION DU PLAN (20,5 points)

L’unité de longueur est le centimètre.
ABC est un triangle inscrit dans le demi-cercle de diamètre [BC], de centre O. On donne \(BC = 6\), \(AB = 3{,}2\) et mes \(\widehat{AOB} = 64^{\circ}\) (Voir la figure ci-contre).

1. Déterminer en degré, la mesure de l’angle \(\widehat{ACB}\).

2. En utilisant le cosinus de l’angle \(\widehat{ACB}\) et sachant que \(\cos \widehat{ACB} = 0{,}845\), calculer AC.

3. Soit M le projeté orthogonal de O sur (AC). Calculer OM.

4. Soit D l’image de A par la translation de vecteur \(\overrightarrow{BC}\).

a. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?

b. Démontrer que M est le centre de ABCD.

5. (L) est un cercle de centre I, M un point extérieur à (L) (voir la figure ci-contre).
A l’aide d’une équerre seulement, construire le point N symétrique de M par rapport à I.

II- GEOMETRIE VECTORIELLE ET ANALYTIQUE (7 points)

1. A, B, C, D et E sont des points du plan. En utilisant la relation de Chasles, calculer la somme :\[\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{CD} - \overrightarrow{ED}.\]

2. Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O ; I ; J) dont l’unité est le centimètre, on donne les points \(A(2\,;\,-3)\) ; \(B(2\,;\,2)\) et \(C(-1\,;\,4)\). Calculer AB.

3. Ecrire une équation cartésienne de la droite \((\Delta)\), médiane du triangle ABC issue de B.

III- CONFIGURATION DE L’ESPACE (5 points)

L’unité de mesure de longueur est le centimètre.
Une bougie est formée d’un cylindre surmonté d’un cône de révolution (voir la figure ci-contre).

1. Calculer le volume de la partie cylindrique.

2. Calculer le volume de la bougie à un millième près.
On prendra \(\pi = 3{,}14\).

PARTIE B : ACTIVITES NUMERIQUES (27,5 points)

IV- ALGEBRE (20,5 points)

1. Ecrire \(A = 3\sqrt{7} - 2\sqrt{63} + 4\sqrt{28}\) sous la forme \(a\sqrt{b}\) où \(a\) et \(b\) sont des entiers.

2. Factoriser \(P(x) = (x - 1)^2 + (1 - x)(-2x + 7)\).

3. Sachant que : \(2{,}645 < \sqrt{7} < 2{,}646\), encadrer \(5\sqrt{7}\) par deux décimaux consécutifs d’ordre 2.

4. Soit f l’application affine telle \(f(1) = 3\) et \(f(-3) = -5\). Déterminer f.

5. Résoudre graphiquement le système \(\begin{cases} 2x - y + 1 > 0 \\ x + y - 3 > 0 \end{cases}\).

6. Pour célébrer les journées des écoles, les élèves du CEG Tsimialonjafy ont planté 887 arbustes. Chaque fille en a planté 5 et chaque garçon 8. Trouver les nombres de filles et de garçons.

V- ORGANISATION DES DONNEES (7 points)

A la fin de l’année scolaire, le surveillant d’un CEG a relevé le nombre de jours d’absence des 40 élèves d’une classe. Voici le résultat obtenu.

1. Préciser le caractère étudié.

2. Donner le mode de la population étudiée.

3. Calculer le pourcentage des élèves absents pendant 3 jours et plus.