Mathématiques BEPC 2005 Madagascar : sujet et corrigé

Le candidat doit traiter les deux parties suivantes :
– La partie A : ACTIVITES GEOMETRIQUES
– La partie B : ACTIVITES NUMERIQUES

PARTIE A : ACTIVITES GEOMETRIQUES (32,5 points)

I- CONFIGURATION DU PLAN (20,5 points)

L’unité de longueur est le centimètre.
\((\mathcal{C})\) est le cercle de centre O et de rayon \(R = 4\). \((\mathcal{C}^{\prime})\) est le cercle de centre \(O^{\prime}\) et de rayon \(R^{\prime} = 2\) et \(OO^{\prime} = 6\) (voir la figure ci-contre).

1. Justifier que les deux cercles \((\mathcal{C})\) et \((\mathcal{C}^{\prime})\) sont tangents.

2. Une tangente commune aux cercles \((\mathcal{C})\) et \((\mathcal{C}^{\prime})\) a respectivement pour points de contact A et B.
Justifier que les droites (OA) et \((O^{\prime}B)\) sont parallèles.

3. Soit M le point d’intersection de \((\mathcal{C})\) et \((\mathcal{C}^{\prime})\). La droite perpendiculaire en M à \((OO^{\prime})\) coupe (AB) au point I. Démontrer que les triangles IMA et IMB sont isocèles.

4. Démontrer que le triangle ABM est rectangle en M.

5. Démontrer que (OI) est médiatrice de [AM].

6. R et T sont deux points du plan. \((\mathcal{D})\) est la médiatrice du segment [RT] et P un point non situé sur la droite \((\mathcal{D})\) (voir la figure ci-contre). Construire uniquement à l’aide d’une règle non graduée le point Q symétrique de P par rapport à \((\mathcal{D})\).

II- GEOMETRIE VECTORIELLE ET ANALYTIQUE (7 points)

1. M, N et P sont des points du plan tels que \(\overrightarrow{MN} = -3\overrightarrow{MP}\). Que peut-on dire des points M, N et P ?

2. L’unité de longueur est le centimètre. Le plan est muni d’un repère orthonormé (O ; I ; J). On donne les points \(A(-2\,;\,1)\) ; \(B(5\,;\,-3)\) et \(C(-3\,;\,2)\).

a. Calculer les coordonnées du point E milieu du segment [AB].

b. Ecrire une équation cartésienne de la droite \((\mathcal{D})\) passant par C et de coefficient directeur \(-2\).

III- CONFIGURATION DE L’ESPACE (5 points)

L’unité de longueur est le centimètre. La figure ci-contre représente le patron d’un cône de révolution.

1. Calculer l’aire de la base du cône.

2. Calculer l’aire totale du cône.
On prendra \(\pi = 3{,}14\).

PARTIE B : ACTIVITES NUMERIQUES (27,5 points)

IV- ALGEBRE (20,5 points)

1. Soit \(A = \dfrac{\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{2}}{\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{5}}\). Ecrire A sous forme d’une fraction.

2. Ecrire \(B = 44\sqrt{\dfrac{3}{121}} - 2\sqrt{147}\) sous la forme \(a\sqrt{b}\), avec \(a \in \mathrm{Z}\), \(b \in \mathrm{IN}\)

3. On considère la fraction rationnelle : \[F(x) = \dfrac{\left(\dfrac{1}{3} - 2x\right)^2}{\left(2x - \dfrac{1}{3}\right)\left(x - \dfrac{4}{3}\right)}\] Simplifier F(x).

4. Résoudre graphiquement le système d’inéquations : \(\begin{cases} 2x - y < 0 \\ x + y + 2 > 0 \end{cases}\)

5. Sachant que \(5{,}20 < 3 - 2x < 5{,}30\), donne un encadrement de x par deux nombres décimaux d’ordre 2.

6. Un élève dessine des triangles et des rectangles de façon qu’ils n’aient aucune point commun. Il trace ainsi 34 figures et compte 121 sommets. Calculer le nombre de triangles et celui de rectangles.

V- ORGANISATION DES DONNEES (7 points)

Le tableau ci-dessous montre les résultats d’une enquête sur la quantité de lait vendue en une journée par les membres d’une coopérative, \(a \in \mathrm{IN}\).

1. Calculer a.

2. Quelle est la classe modale ?