Mathématiques BEPC 2004 Madagascar : sujet et corrigé

Le candidat doit traiter les deux parties suivantes :
– La partie A : ACTIVITES GEOMETRIQUES
– La partie B : ACTIVITES NUMERIQUES

PARTIE A : ACTIVITES GEOMETRIQUES (32,5 points)

I- CONFIGURATION DU PLAN (20,5 points)

L’unité de longueur est le centimètre.
On donne le triangle ABC rectangle en A tel que \(AB = 3\) et \(BC = 6\).

1. En utilisant la propriété de Pythagore, calculer la mesure exacte de AC.

2. Calculer \(\cos \widehat{B}\).

3. On désigne par O le milieu de [BC]. I est le projeté orthogonal de O sur (AC). Calculer OI.

4. Déterminer le rapport des airs des triangles ABC et COI.

5. Soit \((\mathcal{C})\) le cercle de diamètre [BC] et M un point de l’arc \(\overset{\frown}{AB}\) ne contenant pas A tel que mes \(\widehat{MOB} = 120^{\circ}\). Démontrer que BMCA est un rectangle.

6. P, Q et R sont trois points distincts non alignés. Q est l’image de P par une symétrie orthogonale. Construire, à l’aide du compas uniquement, le point S image de R par cette symétrie.
N.B : les traces du compas doivent être visibles sur la figure.

II- GEOMETRIE VECTORIELLE ET ANALYTIQUE (7 points)

1. ABCD est un parallélogramme de centre O.
En utilisant la relation de Chasles, justifier que : \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{AO}\).

2. Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O ; I ; J), l’unité de longueur est le centimètre. On donne les points \(A(2\,;\,3)\) ; \(B(0\,;\,2)\) et \(C(4\,;\,0)\).
Calculer le coefficient directeur « a » de la droite (AB)

3. Donner une équation cartésienne de la médiane issue du sommet A du triangle ABC.

III- CONFIGURATION DE L’ESPACE (5 points)

Une stèle est constituée d’un pavé droit de 2m de hauteur surmonté d’une pyramide régulière à base carrée de 40cm de côté.
La hauteur de la stèle mesure 2,30m.

1. Calculer le volume du pavé droit.

2. Cette stèle est fabriquée en granite. Calculer le volume total du granite nécessaire pour fabriquer la stèle.

N.B : les volumes seront exprimés en m³.

PARTIE B : ACTIVITES NUMERIQUES (27,5 points)

IV- ALGEBRE (20,5 points)

1. Ecrire \(A = \dfrac{2{,}5 \cdot 10^{-7}}{5 \cdot 10^{-6}}\) sous la forme \(a \times 10^{n}\) où \(a\) et \(n\) sont des entiers relatifs.

2. Mètre \(B = \sqrt{75} + \sqrt{48} - 7\sqrt{3}\) sous la forme \(a\sqrt{b}\) où \(a\) et \(b\) sont des entiers naturels.

3. F est une application affine définie dans IR telle \(f(0) = 5\) et \(f(5) = 7\). Donner l’expression de f.

4. Factoriser le polynôme \(P(x) = x^2 - 2 + (x + \sqrt{2})(1 + \sqrt{2} + x)\).

5. Sachant que \(1{,}414 < \sqrt{2} < 1{,}415\), encadrer \(10 + \sqrt{2}\) par deux décimaux consécutifs d’ordre 2.

6. Au départ, Saïd a trois fois plus d’argent que Benja. Leur tante donne à chacun d’eux 3000F. Saïd a alors deux fois de plus d’argent que Benja.
Combien chacun avait-il d’argent au départ ?

V- ORGANISATION DES DONNEES (7 points)

Le diagramme suivant représente la production de riz des cultivateurs d’un village.

1. Dresser le tableau statistique des effectifs.

2. Quelle est la classe modale ?

3. Le ministère de tutelle a récompensé les cultivateurs qui ont produit au moins 10 tonnes par hectare.
Calculer le pourcentage des cultivateurs qui ont été récompensés.