Mathématiques BEPC 2003 Madagascar : sujet et corrigé

Le candidat doit traiter les deux parties suivantes :
– La partie A : ACTIVITES GEOMETRIQUES
– La partie B : ACTIVITES NUMERIQUES

PARTIE A : ACTIVITES GEOMETRIQUES (32,5 points)

I- CONFIGURATION DU PLAN (20,5 points)

L’unité de longueur est le centimètre.
Soit ABC un triangle rectangle en A tel que AB = 3 et BC = 6.

1. Calculer AC en utilisant la propriété de Pythagore.

2. Calculer \(\cos \widehat{ABC}\).

3. Soient K, I et J les milieux respectifs des segments [AB], [BC] et [AC]. Quelle est la nature du quadrilatère KJIB ? Justifier.

4. Soit E le symétrique de K par rapport à la droite (IJ). Démontrer que ce triangle EJK est isocèle en J.

5. Démontrer que le triangle AIB est équilatéral.

6. On donne la figure ci-dessous.

Construire un point M du cercle (C) et un point N de la droite (D) tel que A soit le milieu de [MN].
N.B : les traces de compas doivent être visibles.

II- GEOMETRIE VECTORIELLE ET ANALYTIQUE (7 points)

1. Soient R, S, G, E, P, et T des points du plan. En utilisant la relation de Chasles, vérifier que :
\(\overrightarrow{RS} + \overrightarrow{GE} - \overrightarrow{PT} + \overrightarrow{ST} + \overrightarrow{EG} = \overrightarrow{RP}\).

2. Dans un plan muni d’un repère orthonormé \((O\,;\,I\,;\,J)\), l’unité étant le centimètre, on donne les points \(A(3\,;\,-2)\) ; \(B(3\,;\,3)\) et \(C(-1\,;\,1)\).
Calculer la distance AB.

3. Donner une équation cartésienne d la droite (H) hauteur issue de A du triangle ABC.

III- CONFIGURATION DE L’ESPACE (5 points)

L’unité est le centimètre.
Soient le cube ABCDEFGH et le pyramide SEFGH de sommet S et de base EFGH, S étant le centre du carré ABCD de côté a = 4.

1. Calculer le volume du cube.

2. On évide la partie en forme de pyramide SEFGH contenue dans le cube. Donner la valeur approchée par excès d’ordre 2 du volume restant du cube.

PARTIE B : ACTIVITES NUMERIQUES (27,5 points)

IV- ALGEBRE (20,5 points)

1. Soit \(A = \dfrac{5}{3} + \dfrac{3}{5} \times \dfrac{25}{6}\). Ecrire A sous forme d’une fraction irréductible.

2. Traduire à l’aide d’inégalité : \(x \in \left]0\,;\,\rightarrow\right[\).

3. Sachant que : \(2{,}236 < \sqrt{5} < 2{,}237\). Encadrer \(9 - \sqrt{5}\) par deux nombres décimaux consécutifs d’ordre 3.

4. Résoudre dans IR² le système d’équations suivant : \(\begin{cases} x + 3y = 5 \\ 2x - y = 3 \end{cases}\)

5. Soit f l’application affine de IR dans IR définie par \(f(x) = ax + 4\). Déterminer a pour que la représentation graphique de f passe par le point \(A(2\,;\,6)\).

6. Un professeur de gymnastique veut acheter plus de 3 ballons et plus de 2 maillots. Sachant que le prix d’un ballon est de 25 000 Fmg et le prix d’un maillot 20 000 Fmg.
Déterminer le nombre de ballons et le nombre de maillots que le professeur peut acheter si la dépense doit être inférieure à 175 000 Fmg.

V- ORGANISATION DES DONNEES (7 points)

Voici les masses (en kg) des poissons pris par les pêcheurs d’un village en une journée :

1. Préciser le caractère étudié.

2. Compéter le tableau ci-dessous :

3. Calculer le pourcentage des pêcheurs ayant pris au moins 6 kg de poissons en une journée.