Mathématiques

EXERCICE 1 (5 points)

Pour tout entier naturel n, on pose et Vn = ln(Un) .

1- a- Calcu1er U_O, U₁ , V_O et V₁ (0,25ptx4)
b- Montrer que (U_n) est une suite géométrique de raison q = (1pt)

c-Calculer en fonction de n la somme Sn = Uo + U₁ + U_n  (0,75pt)

2- a-Vérifier que (V_n) est une suite arithmétique dont on précisera la raison. (1pt)

b- En déduire la variation de la suite (Vn)     (0,25pt)

3- Calculer et

(0,5ptx2)

EXERCICE 2 (5 points)

Le tableau suivant représente l’évolution des bénéfices par mois d’un marchand (y) (en millions d’Ariary) où y₆ est un nombre entier naturel.

1- Calculer la valeur de si la moyenne de la série (y_i) est  (1pt)

2- Dans tout ce qui suit, on prendra y₆ = 49.

a- Représenter le nuage des points M_i(x_i , y_i) dans un repère orthogonal. (1pt)

• Sur l’axe des abscisses : prendre 1 cm comme unité.
• Sur l’axe des ordonnées : placer 30 à l’origine et prendre 1 cm pour représenter 2 millions d’Ariary.

b- Déterminer les coordonnées du point moyen G. (1pt)

c- Ecrire l’équation cartésienne de la droite d’ajustement linéaire (G₁ G₂) par la méthode de Mayer. (1pt)

3- À l’aide de cette droite, estimer le bénéfice du marchand au mois de septembre. (1pt)

PROBLÈME (10 points) A₁

On considère la fonction f définie sur par :

On note par (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,i,j) d’unité 2cm

1- Calculer Interpréter graphiquement ce résultat.

2- a- Démontrer que pour tout réel x,

b- En déduire  Que peut-on en conclure pour la courbe (C) ?

3- a- Vérifier que la fonction dérivée 

b- Dresser le tableau de variation de f.

4- a- Montrer que le point est un centre de symétrie de la courbe ( C).

b- Ecrire l’équation de la tangente (T) à la courbe (C) au point d’abscisse x_o = 0.

c- Calculer à 0,1 près f(—1), f(1) et f(2)

5- Tracer la courbe (C) et (T) dans le même repère

6- Soit F la fonction définie sur   par : F(x) = 2x + In(e^X + 1)

a- Calculer F’(x). Que peut-on en conclure ? (1pt)

b- Calculer, en cm, l’aire géométrique du domaine plan limité par la courbe (V), l’axe des abscisses et les droites d’équations x= 0 et x = ln3. (1pt)