Définition d’une suite numérique
Une suite numérique est une fonction de ℕ dans ℝ. On note (uₙ) une suite et uₙ son terme général.
Suites arithmétiques
Une suite (uₙ) est arithmétique si : uₙ₊₁ = uₙ + r où r est la raison.
- Terme général : uₙ = u₀ + nr
- Somme des n premiers termes : Sₙ = n(u₁ + uₙ)/2
Exemple : 2, 5, 8, 11, 14… (r = 3)
Suites géométriques
Une suite (uₙ) est géométrique si : uₙ₊₁ = uₙ × q où q est la raison.
- Terme général : uₙ = u₀ × qⁿ
- Somme des n premiers termes : Sₙ = u₁(1 – qⁿ)/(1 – q) si q ≠ 1
Exemple : 3, 6, 12, 24, 48… (q = 2)
Sens de variation
- Croissante : uₙ₊₁ – uₙ > 0 pour tout n
- Décroissante : uₙ₊₁ – uₙ < 0 pour tout n
- Constante : uₙ₊₁ = uₙ pour tout n
Convergence
Une suite converge vers L si lim(n→∞) uₙ = L
- Suite arithmétique : diverge (sauf r = 0)
- Suite géométrique : converge vers 0 si |q| < 1
Raisonnement par récurrence
- Initialisation : Vérifier P(0) ou P(1)
- Hérédité : Si P(n) vraie, montrer que P(n+1) vraie
- Conclusion : P(n) vraie pour tout n